1 Investigación Operativa Introducción Unidad 1

2 Tema 1 INTRODUCCIÓN Concepto y delimitación de la Investigación Operativa Referencias Históricas Fases en la aplicación de una técnica de I.O. Papel de los usuarios y de los expertos Estructura/contenido de los Modelos de I.O. La I.O. en la práctica habitual

3 1. Concepto y delimitación de la I.O.Antecedentes: Surge durante la segunda Guerra Mundial, luego y con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el desarrollo de la informática. Definición Aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario personas a la resolución de un problema. Objetivo Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

4 Métodos en Investigación OperativaMétodos determinísticos: Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc. Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos. Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.

5 Mapa conceptual del área de OperacionesDIAGNOSTICO Planeación de la Producción Distribución Asignación de recursos limitados Inventarios Programación de Actividades Pronósticos de Demanda Medio Ambiente Análisis de Líneas de Espera Analisis de Sistemas de Producción Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema bajo estudio Seleccionar el Modelo Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos Programación Lineal Soluciones Reales Programación Lineal Entera Soluciones Entereas Programación Lineal por metas Soluciones en orden de prioridad Programación Dinámica Soluciones en Etapas continuas Optimización de Redes Soluciones orientadas a la distribución óptima Control de Inventarios Soluciones por etapas (n+1) Pronósticos Comportamient o futuro sistema basado en datos históricos Teoría de Colas Determinación de tiempos de espera y longitud de la cola promedio Simulación de Sistemas Estimación de las medidas de desempeño del sistema modelado HERRAMIENTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES TIPOS DE PROBLEMAS Mapa conceptual del área de Operaciones

6 Características de la IOExamen de las Relaciones Funcionales de un Sistema Utilización de del Grupo Interdisiplinario Adopción del Enfoque Planeado (Método Cientifico) Descubrimientos de Nuevos Problemas para su estudio Definición de Ia Investigación de Operaciones. El Comité de investigación de Operaciones del Consejo Nacional de Investigación presentó la siguiente definición: “La Investigación de Operaciones es la aplicación del método científico al estudio de las operaciones de las grandes y complejas organizaciones o actividades”.

7 Modelos IO

8 Tipos de Modelos UsadosDefinición de Modelos: El modelo es una representación o abstracción de una situación u objeto reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa y efecto. Modelos Iconicos. Modelos Analógicos. Modelos Simbólicos (o Matemáticos) Cuantitativos Cualitativos Estándares y hechos a medida Probabilisticos (estocasticos) o Deterministicos Descriptivo y de optimización Estáticos y Dinámicos Simulación y No simulación

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10 Etapas de un ejercicio de I.O.Básicamente la I.O. sigue los siguientes pasos: La observación del problema La construcción de un modelo matemático que contenga los elementos esenciales del problema La obtención en general, con al ayuda de algorítmos implementados informáticamente, de las mejores soluciones posibles. La calibración e interpretación de la solución y su comparación con otros métodos de toma de decisiones.

11 Fases de un estudio FORMULACIÓN DEL PROBLEMA CONSTRUCCIÓN DEL MODELOFORMULACIÓN DEL PROBLEMA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO NECESIDAD DE REORGANIZACIÓN MODELO DEL SISTEMA REAL SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y CONTROL SOLUCIÓN DEL MODELO INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS E IMPLICACIONES VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Fases de un estudio

12 Modelos a Estudiar

13 Investigación Operativa Programación Lineal Unidad 2

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17 Investigación OperativaMétodo Simplex

18 El Problema de P.L. Consiste

19 El Problema de P.L. Consiste

20 El Problema

21 Construcción del Modelo de P.L.

22 Tabla del Método Simplex

23 Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

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25 Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

26 Resolución del P.L. Mediante el Método Simplex

27 A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer PasoDe la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

28 A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer PasoDe la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Terecer Paso Dividir la fila del pivote por el pivote y remplazar los valores existentes Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

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30 Problema de fabrica de bombones

31 Problema de Alimento de Mascotas

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33 A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer PasoDe la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

34 A´= – ((c x b) / Pivote) Calculo Metodo Simplex Primer PasoDe la Fila Zj-Cj Tomar el valor mas negativo c a Segundo Paso Dividir el valor existente en la columna elegida Por el valor de la columna B. El resultado mayor indica el “Pivote” que será Utilizado en los calculos b Pivote Terecer Paso Dividir la fila del pivote por el pivote y remplazar los valores existentes Cuarto Paso Ejecutar la siguiente operación. Por ejemplo: a c c Pivote b a b Pivote A´= – ((c x b) / Pivote) a

35 Tabla Optima del Problema

36 Dualidad

37 Dualidad Directo (Unidades) ∑ Aij [UR / UP] . Xj [UP] = Bi [UR]Bk Yk C Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 120 150 1 -0,285 -2,856 2,142 100 1,142 1,428 -3,571 Zi-Bi 33000 -20 -200 -100 Valores Marginales Cajas A Cajas B Directo (Unidades) ∑ Aij [UR / UP] . Xj [UP] = Bi [UR] Dual (Unidades) ∑ Aij [UR / UP] . Yj [UB / UR] = Cj [UB / UP]

38 Ejercitación Ejercicio.Una empresa manufacturera paralizó la producción de ciertos productos por bajas utilidades. Esto generó una capacidad ociosa de producción. Se planteó entonces la necesidad de asignar esa nueva capacidad disponible a la elaboración de hasta 3 productos (1, 2, 3). La información elaborada es la siguiente: Marketing informa que el potencial de ventas para los 3 productos supera la máxima producción posible, o sea que la demanda del mercado es superior a la producción factible, lo que posibilita que todo lo producido pueda ser vendido. Los beneficios son $ 20, $ 6, $ 8 para los productos 1, 2 y 3 respectivamente. Fijar la producción de cada producto para maximizar los beneficios.

39 Ejercitación Una empresa fabrica dos clases de máquinas, cada una requiere de una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 18 hs. de mano de obra, 9 horas de prueba y produce una utilidad de u$s 400.- La máquina estándard requiere 3 hs. de mano de obra, 4 hs. de pruebas y produce una utilidad de u$s 200.- Se dispone de 800 hs. de mano de obra 600 hs. para pruebas cada mes. Se pronostica que la demanda mensual para el modelo de lujo es no mas de 80 unidades/mes y las maquinas estándar no mas de 150 unidades/mes. La gerencia desea maximizar la utilidad total. Formular el P.L

40 Ejercitación Maximizar Z = 9 X1 + 5 X2 2 X1 + 2 X2 =< 12Utilizando el método simplex resuelva el siguiente modelo de PL. Maximizar Z = 9 X1 + 5 X2 Sujeto a 2 X1 + 2 X2 =< 12 X1 + 2 X2 =< 8 X1 – 4 X2 => 4

41 Investigación OperativaINVENTARIOS

42 CEP Cantidad Económica de Pedido Sin Agotamiento

43 1.- MODELO CLÁSICO DE CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDO (CEP)

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45 Mantenimiento del StockCosto de Pedir Costo Incremental Total

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47 Cantidad Optima de PedidoCantidad de veces que se compra en un ejercicio Tiempo entre pedidos

48 Cuadro de Resultados

49 Formulas del Modelo

50 Ejercicio CEP sin Agotamiento

51 CEP Cantidad Económica de Pedido Con Agotamiento

52 2.- MODELO CEP CUANDO SE PERMITEN FALTANTES

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56 Investigación OperativaRedes

57 Árbol de expansión mínima (situación 1)2. Algoritmo de la ruta más corta (situación 2) 3. Algoritmo del flujo máximo (situación 3) 4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mínimo (situación 4) 5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situación 5)

58 Definir una Red

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61 Árbol de expansión mínima (situación 1)Política: El objetivo es conectar TODOS los nodos iniciando siempre el trayecto por el camino mas económico.

62 Árbol de expansión mínima (situación 1)

63 2. Algoritmo de la ruta más corta (situación 2)

64 Árbol de expansión mínima (situación 2)

65 Investigación OperativaRedes Modelo de Flujo Restringido

66 Modelo del Problema de Flujo Restringido de Costo

67 4. Algoritmo de redes capacitadas de costo mínimo (situación 4)

68 Modelo del Problema de Flujo Restringido de CostoProveedor Materia Prima Transporte Plantas del Compuesto Básico Transporte Planta A ( ) 2 $ 10 4 6 $ 3 8 660 $ 25 + 500 $ 200 / Tn $ 4 $ 12 1 Fuente Distribución 1460 Ton. $ 9 $ 5 $ 210 / Tn + 750 3 5 $ 28 7 $ 2 9 800 $ 13 Planta B ( )

69 Investigación OperativaRedes PERT

70 5. Algoritmo de la ruta critica (CPM) (situación 5)

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74 Investigación OperativaProgramación Dinámica

75 Y H E L v O C I A F M cBv X J D P G K 3 2 1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 N -3 2 3A F M cBv X 7 2 2 8 1 -1 J D P 5 2 3 4 -2 G N 4 2 -3 K

76 Calculos Estado 0 S(a)= Min { 1 + S(c) ; 0 + S(d) } Estado 1 S(c)= Min { 5 + S(e) ; 4 + S(f) } S(d)= Min { 7 + S(f) ; 3 + S(g) } Estado 2 S(e)= Min { 2 + S(h) ; 1 + S(i) } S(f)= Min { 1 + S(i) ; 2 + S(j) } S(g)= Min { 5 + S(j) ; 4 + S(k)} Estado 3 S(h)= Min { 3 + S(l) } 10 7 S(i)= Min { 3 + S(l) ; 4 + S(m) } S(j)= Min { 2 + S(m) ; 2 + S(n) } S(k)= Min { 2 + S(n) } 7 5 Estado 4 S(l) = Min { 5 + S(o) } 7 2 S(m)= Min { 2 + S(0) ; 8 + S(p) } 4 S(n)= Min { 4 + S(p) } 5 1 Estado 5 S(o)= Min { 2 + S(b) } 2 S(p)= Min { 1 + S(b) } 1

77 Formalización del Modelo1.- Definir las Variables de Estado y Etapa X = Variable de etapa (toma los valores 0 a 6) Y = Variable de estado 2.- Definir los Parámetros del Modelo (costos ó beneficios asociados a cada estado del modelo) A0(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y+1) A1(x,y) = Costo asociado al camino que va de (x,y), hasta (x+1, y-1) 3.- Definir el Funcional S(x,y) = Costo mínimo para ir desde el punto (x,y) hasta el punto (6,0) (NODO B) 4.- Expresión Recursiva Aplicando el teorema de optimalidad de manera que el funcional pueda ser determinado usando el valor del funcional hasta la etapa anterior. A(0) (x,y) + S(X+1, Y+1) Con X= 6………..0 S(X,Y)= Min Y perteneciente al conjunto U(x) A(1) (x,y) + S(X+1, Y-1) U(0)=U(6)= {0}; U(1)=U(5)= {1,-1}; U(2)=U(4)= {2,0,-2}; U(3)= {3,1,-1-3} 5.- Definir condiciones iniciales y de borde Inicial (6,0) = 0 Borde A(0) (3,3) = A(0) (4,2) = A(0) (5,1) = infinito A(1) (3,-3) = A(1) (4,-2) = A(1) (5,-1) = infinito 6.- Objetivo del modelo S(0,0)

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