1 Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniachRozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006

2 Plan prezentacji Prawdopodobieństwo niepowodzeniadefinicja, wzory ogólne, przypadki szczególne, efektywność obliczeniowa. Systematyczne ryzyko śmiertelności wzory na prawdopodobieństwo dożycia, analiza statystyczna danych historycznych, wycena opcji na śmiertelność.

3 Część I Prawdopodobieństwo niepowodzenia

4 Proces ryzyka towarzystwa ubezpieczeń R(t) – definicjau – kapitał początkowy, c – prędkość napływania składki, S(t) – łączna wartość szkód do momentu t.

5 Przykładowa trajektoria procesu ryzyka

6 Prawdopodobieństwo ruinyDefinicja 1. Niech R(t) będzie procesem ryzyka. Prawdopodobieństwem ruiny w czasie skończonym nazywamy

7 Prawdopodobieństwo niepowodzeniaDefinicja 2. Prawdopodobieństwem niepowodzenia nazywamy

8 Prawdopodobieństwo niepowodzenia, przypadek u = 0Twierdzenie 1. Niech Gt będzie dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Jeśli kapitał początkowy u = 0, to

9 Prawdopodobieństwo niepowodzenia dla dowolnego uTwierdzenie 2. Niech Gt będzie różniczkowalną dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Niech wówczas

10 Związek z teorią kolejekDefinicja 3. Procesem czasu obsługi dualnym do R(t) nazywamy proces V(t) Twierdzenie 3. Niech V(t) będzie procesem czasu obsługi dualnym do procesu ryzyka R(t). Jeśli V(0) = w, to niepowodzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy V(T) > u.

11 Szkody o wartościach stałych (1)Twierdzenie 4. Niech wszystkie szkody mają wartość h, niech w/h oraz u/h będą liczbami naturalnymi. Wówczas prawdopodobieństwo niepowodzenia można szacować poprzez

12 Szkody o wartościach stałych (2)Twierdzenie 4 (kontynuacja). ...gdzie jest zadane jawnym wzorem, np. dla T < w/c mamy

13 Szkody o rozkładzie dyskretnymTwierdzenie 5. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Niech szkody mają rozkład skupiony na liczbach naturalnych, niech K’n będzie zmienną zdefiniowaną w pracy Ignatova i Kaisheva (2000), wówczas gdzie Cin’ jest pewnym zbiorem ciągów.

14 Złożoność obliczeniowa dla metody Ignatova-Kaisheva (2000)Twierdzenie 6. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Liczba obliczeń wyznacznika potrzebnych do wyznaczenia wynosi 2n’ – 1.

15 Prawdopodobieństwo niepowodzenia: podsumowanieZdefiniowano prawdopodobieństwo niepowodzenia i uzasadniono jego użyteczność. Wyznaczono ogólne wzory dla prawdopodobieństwa niepowodzenia. Wyznaczono wzory analityczne w szczególnych przypadkach. Wykazano, że prawdopodobieństwo to można wyliczać efektywniej niż prawdopodobieństwo ruiny.

16 Część II Systematyczne ryzyko śmiertelności

17 Zmiany w tablicach trwania życiaTablice Edmonda Halley’a, jedne z pierwszych tablic trwania życia, stworzone na podstawie wrocławskich danych demograficznych (1693) Zmieniające się parametry śmiertelności w USA (z pracy Lee i Cartera, 1992)

18 Intensywność umieralności, przypadek deterministycznyPrawdopodobieństwo, że losowa osoba dożyje od wieku t do wieku T

19 Stochastyczne modele intensywności umieralnościZaproponowano następujące modele intensywności umieralności gdzie a > 0 oraz σ > 0. Ponadto przyjęto, że parametr β = 0, 1/2 lub 1.

20 Prawdopodobieństwo dożyciaW przypadku stochastycznym

21 Postać prawdopodobieństwa dożyciaTwierdzenia 7-9. Niech intensywność umieralności będzie zdefiniowana przez (*). Wówczas, przykładowo, jeśli β = 0, to gdzie

22 Analiza statystyczna danych historycznychPrzebadano historyczne tablice trwania życia z 20 krajów rozwiniętych z lat I dopasowywano modele opisane przez (*): jednowymiarowe, dla osób urodzonych w zadanym roku, wielowymiarowe, dla grup osób urodzonych w różnych latach.

23 Dopasowane modele wielowymiaroweModel 3-wymiarowy dla osób aktualnie w wieku 70-72 Kraj β = 0 β = 1/2 β = 1 Austria tak Belgia Bułgaria Czechy Włochy Japonia Holandia Szwajcaria

24 Opcje na śmiertelność Definicja 4. Opcją (kupna) na śmiertelność nazywamy kontrakt wypłacający w momencie T sumę Uwaga. Jeśli K = T-t pt, to opcja na śmiertelność jest idealnym zabezpieczeniem przed systematycznym ryzykiem śmiertelności.

25 Aproksymacje wyceny opcjiZaproponowano modyfikacje metod znanych z wyceny stóp procentowych: aproksymacyjnej metody Vorsta (1990), aproksymacyjnej metody E. Levy’ego (1992).

26 Wycena zmodyfikowaną metodą Levy’egoCena opcji na śmiertelność dla intensywności umieralności opisanej zmodyfikowanym geometrycznym ruchem Browna, β = 1. Dokładna cena opcji na śmiertelność uzyskana metodą symulacji Cena opcji na śmiertelność uzyskana zmodyfikowaną metodą Levy’ego

27 Systematyczne ryzyko śmiertelności: podsumowanieZdefiniowano nowe modele stochastyczne dla intensywności umieralności. Obliczono analityczną postać prawdopodobieństwa dożycia. Przeprowadzono analizę statystyczną danych historycznych i oceniono przydatność modeli. Zaproponowano aproksymacje do wyceny opcji na śmiertelność. Wyceniono opcję na śmiertelność dla zaproponowanych modeli.

28 Bardzo dziękuję za uwagę