1 Kartografia matematycznadr inż. Paweł Pędzich GG pok. 329

2 Plan wykładów Pojęcie powierzchni odniesienia powierzchni fizycznej Ziemi i pojęcie powierzchni oryginału w odwzorowaniu kartograficznym Pojęcie regularnego odwzorowania powierzchni w powierzchnię oraz odwzorowania kartograficznego. Elementy teorii zniekształceń odwzorowawczych: skala główna, skala poszczególna, skala elementarna. Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego Elementy teorii zniekształceń odwzorowawczych: I i II twierdzenie Tissota, pojęcie elipsy zniekształceń odwzorowawczych Elementy teorii zniekształceń odwzorowawczych: ekstremalne zniekształcenia długości, elementarna skala zniekształceń pól, zniekształcenia kątów

3 Pojęcie redukcji odwzorowawczychKlasyfikacja odwzorowań w zależności od rodzaju zniekształceń odwzorowawczych Klasyfikacja odwzorowań w zależności od kształtu siatek kartograficznych Odwzorowania ukośne i poprzeczne Metody konstrukcyjne i analityczne wyznaczania odwzorowań kartograficznych Podstawy teoretyczne odwzorowań konfremnych Ogólna charakterystyka odwzorowań kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografii Odwzorowania elipsoidy obrotowej spłaszczonej na powierzchnię kuli Odwzorowanie Gaussa-Krügera i jego postaci analityczne

4 E.J. Maling „Coordinate systems and map projections”Literatura Jan Panasiuk, Jerzy Balcerzak, Urszula Pokrowska „Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowań kartograficznych” PW 2000 Jan Panasiuk, Jerzy Balcerzak, „ Wprowadzenie do kartografii matematycznej Jan Różycki „Kartografia matematyczna” PWN 1973 Franciszek Biernacki „Podstawy teorii odwzorowań kartograficznych” 1973 Idzi Gajderowicz „Kartografia matematyczna dla geodetów” UWM 1999 Bogusław Gdowski „Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami” PW 1997 Walenty Szpunar „Podstawy geodezji wyższej” PPWK 1982 Kazimierz Czarnecki „Geodezja współczesna w zarysie” E.J. Maling „Coordinate systems and map projections”

5 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznapojęcie powierzchni oryginału w odwzorowaniu kartograficznym układy współrzędnych

6 Powierzchnie odniesieniaWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Powierzchnie odniesienia fizyczna powierzchnia Ziemi geoida elipsoida obrotowa spłaszczona powierzchnia kuli płaszczyzna

7 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaGeoida Ziemia jest zanurzona w przestrzennym polu siły ciężkości. Wynika to z istnienia w otoczeniu powierzchni fizycznej Ziemi określonego stanu rozkładu mas oraz z siły odśrodkowej ruchu obrotowego, a stąd istnienia wokół Ziemi określonego stanu rozkładu sił grawitacyjnych. Suma wymienionych sił nazywa się siłą ciężkości Ziemi. W krótkim interwale czasu, tzw. epoce, pole wektorowe siły ciężkości Ziemi można uznać za stacjonarne. W takim stacjonarnym polu siły ciężkości praca ruchu punktu materialnego o określonej masie nie zależy od drogi ruchu. Zależy tylko od wartości energii potencjalnej ciała w punkcie początkowym i w punkcie końcowym. Wartość potencjału siły ciężkości w danym punkcie (x,y,z) określa się pracą, jaka jest niezbędna do przeniesienia punktu materialnego o masie jednostkowej m po dowolnej drodze od danego punktu, do punktu znajdującego się w nieskończoności.

8 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaGeoida W każdym polu wektorowym potencjalnym siły ciężkości istnieją powierzchnie stałego potencjału. Trajektorie ortogonalne tych powierzchni, nazywają się liniami siły ciężkości. Geoida na danym terytorium, a także i na całym globie ziemskim, w bardzo krótkim odstępie czasu jest powierzchnią prawie stałego potencjału siły ciężkości. Geoida jest powierzchnią zamkniętą, otaczającą cały glob ziemski, o strukturze mocno pofałdowanej i na ogół nieregularnej. Stosowanie geoidy jako powierzchni odniesienia jest więc utrudnione. Struktura geometryczna geoidy w dużym przybliżeniu, pokrywa się ze strukturą geometryczną powierzchni elipsoidy trójosiowej. Jednakże spłaszczenie równika elipsoidalnego jest stosunkowo niewielkie. Na obecnym poziomie dokładności pomiarów podstawowych, jest ono praktycznie zaniedbywalne.

9 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaGeoida Współcześnie geoidę aproksymuje się powierzchnią elipsoidy obrotowej spłaszczonej. Aproksymacja geoidy powierzchnią elipsoidy jest możliwa do przeprowadzenia tylko wtedy, gdy powierzchnia elipsoidy w stosunku do geoidy jest odpowiednio zorientowana.

10 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaElipsoida obrotowa spłaszczona jako powierzchnia oryginału w odwzorowaniu kartograficznym Elipsoida musi spełniać następujące warunki : masa elipsoidy równa masie Ziemi środek elipsoidy znajduje się w środku masy Ziemi oś obrotu elipsoidy pokrywa się z osią obrotu geoidy parametr metryczny a i parametr strukturalny e powierzchni elipsoidy dobrany z warunku minimum sumy różnic wartości potencjału na elipsoidzie i na geoidzie w odpowiadających sobie punktach przyporządkowanych przez linie działania siły ciężkości Elipsoidę odniesienia powierzchni fizycznej Ziemi wyznacza się empirycznie na tzw. sieci geodezyjnej zerowego rzędu, poprzez określenie w węzłach tej sieci szerokości geodezyjnych B, azymutów A, długości geodezyjnych L, wykonanie niwelacji precyzyjnej i pomiar przyśpieszenia siły ciężkości, a także obecnie, wykorzystanie parametrów ruchu sztucznych satelitów Ziemi w polu sił ciążenia.

11 Elipsoida obrotowa spłaszczona - równaniaWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona - równania Równanie uwikłane Równanie parametryczne

12 Elipsoida obrotowa spłaszczona – parametryWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona – parametry półosie a i b mimośród spłaszczenie drugi mimośród drugie spłaszczenie trzecie spłaszczenie trzeci mimośród

13 Elipsoida obrotowa spłaszczona – przekroje normalne główneWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona – przekroje normalne główne Przekroje normalne – przekroje zawierające normalną do powierzchni w danym punkcie. Przekroje normalne główne – przekroje normalne o największej i najmniejszej krzywiźnie. przekrój południkowy posiada najmniejszy promień krzywizny (największa krzywizna) przekrój poprzeczny posiada największy promień krzywizny (najmniejsza krzywizna)

14 Elipsoida obrotowa spłaszczona – długość łuku południkaWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Elipsoida obrotowa spłaszczona – długość łuku południka W postaci całki W postaci szeregu trygonometrycznego gdzie

15 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaPowierzchnia kuli jako powierzchnia oryginału w odwzorowaniu kartograficznym Powierzchnię kuli wykorzystuje się do opracowań małoskalowych. Wyznaczanie promienia kuli Pole powierzchni kuli równe polu powierzchni elipsoidy Objętość kuli równa objętości elipsoidy Średnia arytmetyczna trzech półosi elipsoidy Średnia geometryczna promieni krzywizny przekrojów głównych

16 Powierzchnia kuli - równaniaWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Powierzchnia kuli - równania Równanie uwikłane Równanie parametryczne

17 Układ współrzędnych geograficznychWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych geograficznych - szerokość geograficzna l- długość geograficzna

18 Układ współrzędnych prostokątnych na kuliWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych prostokątnych na kuli

19 Układ współrzędnych azymutalnychWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych azymutalnych h- wysokość a- azymut

20 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaZależności pomiędzy współrzędnymi azymutalnymi a współrzędnymi geograficznymi

21 Wykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematycznaZależności pomiędzy współrzędnymi azymutalnymi a współrzędnymi geograficznymi Zamiana współrzędnych geograficznych na azymutalne Zamiana współrzędnych azymutalnych na geograficzne

22 Układ współrzędnych geodezyjnychWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych geodezyjnych B- szerokość geodezyjna L- długość geodezyjna

23 Szerokość geocentryczna fWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Szerokość geocentryczna f

24 Szerokość geocentrycznaWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Szerokość geocentryczna

25 Układ współrzędnych prostokątnych na elipsoidzieWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Układ współrzędnych prostokątnych na elipsoidzie

26 Współrzędne Soldnera h,xWykład 1. Wprowadzenie do przedmiotu kartografia matematyczna Współrzędne Soldnera h,x