1 Katarzyna Rychlicka Wielomiany

2 Katarzyna Rychlicka Wielomiany Przykłady Wykresy funkcji wielomianowych Równania wielomianowe Działania na wielomianach Definicja

3 Katarzyna Rychlicka Definicja wielomianu Dane są liczby rzeczywiste a n, a n - 1,..., a 1, a 0 ; przy czym a n  0, gdzie n  N. Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję W określoną wzorem: W(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 dla x  R. UWAGA ! Stopień wielomianu Wyraz wolny

4 Katarzyna Rychlicka W(x) = 5 x 4 + 3 x 3 - x 2 - 2 x + 1 S ( x) = - 2 x 3 + 2 x - 4 V ( x ) = 3 x 4 - 12 U ( x) = - x 5 + 3 x 3 - 4 x 2 - x + 2 W ( x) = x 2 - 4 x + 3 V ( x) = - 3 Przykłady

5 Katarzyna Rychlicka Wykresy funkcji wielomianowych y = x 3 – 6x 2 + x + 4 y = x(x – 1)(x + 2) 2

6 Katarzyna Rychlicka Działania na wielomianach (1) Dodawanie wielomianów: W(x) + V(x) = =(a n x n + a n-1 x n-1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 )+(b n x n + b n-1 x n-1 +...+ b 2 x 2 + b 1 x+b 0 )= =a n x n + b n x n +a n-1 x n-1 + b n-1 x n-1 +...+ a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 1 x + b 1 x + a 0 + b 0 = = (a n + b n )x n +(a n-1 +b n-1 ) x n-1 +... + (a 2 +b 2 )x 2 + (a 1 +b 1 )x + a 0 +b 0 Przykład: W(x) + V(x) = (3x 4 – 5x 3 + 2x 2 – x + 1) + (3x 3 – x 2 – 6) = = 3x 4 – 5x 3 + 3x 3 + 2x 2 – x 2 – x + 1– 6 = = 3x 4 – 2x 3 + x 2 – x – 5 Odejmowanie MnożenieDzielenie

7 Katarzyna Rychlicka Działania na wielomianach (2) Odejmowanie wielomianów: W(x) – V(x) = =(a n x n + a n-1 x n-1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) -(b n x n + b n-1 x n-1 +...+ b 2 x 2 + b 1 x+b 0 )= =a n x n - b n x n +a n-1 x n-1 - b n-1 x n-1 +...+ a 2 x 2 - b 2 x 2 + a 1 x - b 1 x + a 0 - b 0 = = (a n - b n )x n +(a n-1 -b n-1 ) x n-1 +... + (a 2 -b 2 )x 2 + (a 1 -b 1 )x + a 0 -b 0 Przykład: W(x) - V(x) = (3x 4 – 5x 3 + 2x 2 – x + 1) - (3x 3 – x 2 – 6) = = 3x 4 – 5x 3 – 3x 3 + 2x 2 + x 2 – x + 1+ 6 = = 3x 4 – 8x 3 + 3x 2 – x + 7 MnożenieDzielenieDodawanie

8 Katarzyna Rychlicka Działania na wielomianach (3) Mnożenie wielomianów: W(x) · V(x) = =(a n x n +...+ a 1 x + a 0 ) · (b n x n + b n-1 x n-1 +...+ b 1 x+b 0 )= = a n x n ·b n x n +a n x n ·b n-1 x n-1 +...+a n x n ·b 1 x+a n x n ·b 0 +...+ a 0 b 1 x+a 0 ·b 0 Uwaga ! Mnożymy każdy składnik pierwszego czynnika przez każdy składnik drugiego czynnika. Przykład: W(x) · V(x) = (3x 4 + x + 1) · (3x 3 – x 2 – 6) = = 3x 4 ·3x 3 – 3x 4 ·x 2 – 3x 4 ·6 + x·3x 3 – x·x 2 – x·6 + 1·3x 3 – 1·x 2 –1·6= = 9x 7 – 3x 6 – 18x 4 + 3x 4 – x 3 – 6x + 3x 3 – x 2 – 6 = = 9x 7 – 3x 6 – 15x 4 + 2x 3 – x 2 – 6x – 6 DodawanieOdejmowanieDzielenie

9 Katarzyna Rychlicka Działania na wielomianach (4) Dzielenie wielomianów: W(x) : V(x) =(a n x n +...+ a 1 x + a 0 ) : (b m x m + b m-1 x m-1 +...+ b 1 x+b 0 )= = c p x p +... + c 1 x + c 0 przy czym n  m i p = n – m Przykład: W(x) : V(x) = (x 5 + x 3 + x 2 – 2x + 2) : (x 3 – x + 1) = x 2 + 2 Jak to zrobić ? Schemat Hornera DodawanieOdejmowanieMnożenie

10 Katarzyna Rychlicka Jak podzielić pisemnie ? W(x) : V(x) = (x 5 + x 3 + x 2 – 2x + 2) : (x 3 – x + 1) x2x2 1) Podziel x 5 przez x 3. Wynik napisz nad kreską. 2) Przemnóż x 2 przez (x 3 – x + 1).Wynik z przeciwnym znakiem wpisz pod dzielną. Wykonaj działanie. 3) Przepisz dalszą część do dzielenia ( -2x+2). 4) Podziel 2x 3 przez x 3. Wynik napisz nad kreską u góry. 5) Powtórz krok 2) dla liczby 2. -x 5 + x 3 - x 2 = 2x 3 -2x + 2 + 2 -2x 3 +2x - 2 = = = UWAGA ! Jeśli nic nie zostało, tzn. że wielomian W(x) podzielił się przez dwumian V(x) bez reszty.

11 Katarzyna Rychlicka Schemat Hornera W(x) : V(x) = (x 3 +20 x 2 + 84x – 49) : (x + 7) 12084-49 -7113-70 Współczynniki sprzed kolejnych jednomianów w dzielnej Pierwiastek dzielnika Krok 1: Przepisz pierwszy współczynnik na dół. Krok 2: Wykonaj działanie -7  1+20. Wynik wpisz poniżej 20. Krok 3: Wykonaj działanie -7  13+84. Wynik wpisz poniżej 84. Krok 4: Wykonaj działanie -7  -7+(-49). Wynik wpisz poniżej -49. Jeśli ostatnia liczba to 0, tzn. że wielomian W(x) podzielił się bez reszty przez dwumian V(x). Wynik dzielenia to: x 2 + 13x – 7

12 Katarzyna Rychlicka Równania wielomianowe Rozwiąż równanie: x 3 - 7x 2 - 3x + 21 = 0 Pierwiastków (rozwiązań) tego równania należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego, czyli wśród liczb {±(1,3,7,21)} Grupujemy wyrazy x(x 2 - 3) - 7(x 2 - 3) = 0 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias (x 3 - 3x ) + ( - 7x 2 + 21) = 0 Wyłączamy wspólny nawias przed nawias (x 2 - 3) (x - 7) = 0 Iloczyn 2 czynników jest równy 0, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy 0, więc: x 2 – 3= 0 lub x - 7 = 0 Stąd: x = 7 Odp.: x 3 - 7x 2 - 3x + 21 = 0 

13 Katarzyna Rychlicka To były najważniejsze wiadomości o wielomianach Czy wiesz o nich teraz więcej?