1

2 Kim był Pitagoras? Pitagoras (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos) to grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. (zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie)

3 Jak brzmi twierdzenie? c a bW dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta c a b

4 Dowody twierdzenia c b a c a b c2 = a2 +b2 Pole trójkąta: ab/2Pole kwadratu: (a-b)2 c b a c Pole figury: c2 lub 2ab + (a-b)2 a b c2 = 2ab + a2 +b2 – 2ab c2 = a2 +b2

5 c b a c b a Pole małego kwadratu: c2 Pole dużego kwadratu:(a+b)2 lub 2ab+c2 b a (a+b)2 = 2ab+c2 a2+2ab+b2 = 2ab+c2 a2 + b2 = c2 c b a

6 a b c c b a a c b Pole dużego trójkąta: c2:2 Pole trapezu:(a+b)(a+b) :2 c b (a2+2ab+b2):2 c2:2+ab a (a2+2ab+b2):2 = c2:2+ab a2+2ab+b2 = c2+2ab a c a2+b2 = c2 b

7 Trójki pitagorejskie a2 + b2 =c2To takie trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c, które spełniają równanie Pitagorasa: a2 + b2 =c2 a b c 3 4 5 12 13 6 8 10 7 24 25 9 15 17 7

8 Trójki pitagorejskie Jeżeli trójka a, b, c jest pitagorejska to jest nią też da, db, dc dla dowolnej liczby całkowitej naturalnej d Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik; i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

9 Trójki pitagorejskie a = m2 – n2 b = 2mn c = m2 + n2Jeśli m i n są liczbami naturalnymi oraz m > n , to a = m2 – n2 b = 2mn c = m2 + n2 a, b, c jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy gdy m i n są względnie pierwsze i nie są jednocześnie nieparzyste.

10 Związki miarowe w trójkątachW trójkącie o kątach: 90 45 a a a√2

11 Związki miarowe w trójkątachW trójkącie o kątach: 90 60 30 2a a√3 a

12 Twierdzenie cosinusówW dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. c a c2 = a2 + b2 – 2abcosα α b

13 Dowód twierdzenia a c h α b1 b2 c2 = a2 + b2 – 2abcosα b = b1 + b2h2 = a2 – b22 b12 = (b – b2)2 a c c2 = a2 – b22 + (b – b2)2 h α c2 = a2 – b22 + b2 – 2bb2 + b22 b1 b2 c2 = a2 + b2 – 2bb2 – 2bb2 = -2ab ∙ b2:a c2 = a2 + b2 – 2abcosα b2:a = cosα

14 Uogólnione twierdzenie pitagorasaα=90 c2 = a2 + b2 – 2abcosα cosα = 0 c a c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ 0 c2 = a2 + b2 α b

15 Strony źródłowe twierdzenia-pitagorasa/ for-president/ Wykonał: Arkadiusz Ćwikła