1 Kontrakty Kontrakty futures Ceny futures, ceny kasowe, konwergencja Wykresy S t, F t, f t Pojęcie bazy Ryzyko bazy w strategii zabezpieczającej Badanie własności addytywnego modelu zmienności kursu kontraktu

2 Ceny futures, ceny kasowe. Konwergencja   Z kontraktem towarowym futures związana jest cena dostawy (K).   Dzięki dziennym rozliczeniom kontraktu jego wartość na koniec dnia, stale osiąga zero   Cena kontraktu jest różna (na ogół wyższa) od ceny kasowej aktywów. ( F t = S t e r (T - t) )   Wraz ze zbliżaniem się terminu dostawy ceny te zbliżają się do siebie, by zrównać się w chwili wygaśnięcia kontraktu

3 Wykresy S t, F t, f t ; F t = S t e r (T - t) ; f t = S t - e -r(T-t) F 0 S t rośnie wg stopy wolnej od ryzyka (ciągła kapitalizacja)

4 Wykresy S t, F t, f t. S t = const

5 Wykresy S t, F t, f t S t rośnie szybciej niż walory wolne od ryzyka

6 Wykresy S t, F t, f t S t rośnie wolniej niż walory wolne od ryzyka

7 Wykresy S t, F t, f t; S t - sinusoida dodana do krzywej wykładniczej prezentującej wzrost aktywów wolnych od ryzyka

8 Wykresy S t, F t, f t; wykres S t - sinusoida dodana do paraboli

9 Pojęcie bazy Ryzyko bazy w strategii zabezpieczającej   Baza = (cena kasowa aktywów objętych strategią zabezpieczającą) – (cena terminowa kontraktów)   S 1 cena kasowa w chwili t 1   S 2 cena kasowa w chwili t 2   F 1 cena kontraktu futures w chwili t 1   F 2 cena kontraktu futures w chwili t 2   B 1 wartość bazy w chwili t 1   B 2 wartość bazy w chwili t 2   W chwili t 1 rozpoczynamy strategie zabezpieczającą, zakończoną w chwili t 2   Przykład. Ceny kasowa i terminowa w chwili t 1 wynoszą 2,2 oraz 2,5 $ zaś w chwili t 2 wynoszą odpowiednio 1,9 i 2 $.   B 1 = S 1 - F 1; B 2 = S 2 – F 2

10 Pojęcie bazy Ryzyko bazy w strategii zabezpieczającej   Załóżmy, że inwestor zamierza sprzedać aktywa w chwili t 2 (wcześniej ma długa pozycję na aktywach).   W chwili t 1 zajmuje krótką pozycję na kontrakcie futures   W chwili t 2 otrzymuje ze sprzedaży za walor S 2 oraz F 1 - F 2 z kontraktu   Efektywna cena uzyskana z zastosowania strategii to S 2 + F 1 - F 2 = F 1 + B 2   W rozważanym przypadku to 2,5 $ + (-0,1) $ = 2,4 $   Wielkość B 2 jest w chwili t 1 wartością nieznaną, stanowi więc źródło ryzyka zwanego ryzykiem bazy

11 Pojęcie bazy Ryzyko bazy w strategii zabezpieczającej Załóżmy, że inwestor zamierza kupić aktywa w chwili t 2.   W chwili t 1 zajmuje długą pozycję na kontrakcie futures   W chwili t 2 kupuje za S 2 walor oraz uzyskuje F 2 -F 1 z kontraktu   Efektywna cena zakupu uzyskana z zastosowania strategii to S 2 – (F 2 -F 1 ) = S 2 – F 2 + F 1 = F 1 + B 2   W rozważanym przypadku to 2,5 $ + (-0,1) $ = 2,4 $   W obu przypadkach obie ceny: sprzedaży i zakupu okazały się równe i mniejsze od ceny terminowej z chwili t 1

12 Wykresy: ceny terminowej (różowy), kasowej (granatowy) oraz bazy - poniżej

13

14 Badanie własności addytywnego modelu zmienności kursu kontraktu   Prawdopodobieństwo skoku ceny powyżej ustalonej wartości w skończonej liczbie kroków   Powrót do źródła. Prawdopodobieństwo powrotu do źródła (osiągnięcia ceny początkowej) w chwili 2n.   Oczekiwana liczba powrotów w czasie błądzenia o długości 2n kroków   Prawdopodobieństwo długich prowadzeń (pozostawania ceny ponad ustaloną wartością)   Oczekiwany kwadrat odległości od źródła po n krokach błądzenia symetrycznego. (Oczekiwany kwadrat różnicy ceny końcowej i początkowej)

15 Badanie własności addytywnego modelu zmienności kursu kontraktu   (a)   Załóżmy, że kurs kontraktu na zamknięciu każdej sesji wzrasta lub spada o 10 punktów z jednakowym prawdopodobieństwem. Inwestor zajął kiedyś długą pozycję na kontrakcie ale od tamtej chwili kurs spadł o 90 punktów. Do wygaśnięcia kontraktu pozostało jeszcze tylko 20 dni. Obliczymy prawdopodobieństwo uzyskania jakiegokolwiek zysku z inwestycji, zakładając, że inwestor utrzyma pozycję do wygaśnięcia.

16 Efekt sumacyjny zmienności po 6 dniach Na osi pionowej różnica między liczbami wzrostów i spadków

17 Addytywny model zmienności kursu kontraktu   Przy 20 dniach do wygaśnięcia (20 próbach Bernoulliego) inwestor osiągnie zysk w następujących przypadkach liczb wzrostów i spadków : (15,5);(16,4);(17,3); (18,2); (19,1); (20,0). Sumując prawdopodobieństwa uzyskania odpowiedniej liczby sukcesów (wzrostów) obliczamy żądane prawdopodobieństwo. Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego

18 Addytywny model zmienności kursu kontraktu   (b) Przeprowadzimy podobne obliczenia dla różnej liczby dni do wygaśnięcia kontraktu: 30, 40, 50, 60, 70, 80 oraz sporządzimy wykres prawdopodobieństwa uzyskania jakiegokolwiek zysku z inwestycji od liczby dni pozostających do wygaśnięcia.   (c) Sporządzimy wykresy prawdopodobieństwa uzyskania jakiegokolwiek zysku z inwestycji w zależności od liczby dni do wygaśnięcia, dla różnych prawdopodobieństw wzrostu kursu (0,4; 0,45; 0,5; 0,55; 0,6; 0,65)   Dla każdej liczby dni należy ustalić wszystkie przypadki w których różnica między liczbą sukcesów i porażek jest nie mniejsza niż 10. Np. dla 60 liczby sukcesów sprzyjające zdarzeniu to: 35, 36,…,60, dla 70 liczby sukcesów to: 40, 41, 42,…,70

19

20 Addytywny model zmienności kursu kontraktu   Załóżmy, jak poprzednio, że kurs kontraktu na zamknięciu każdej sesji wzrasta lub spada o 10 punktów z pewnym prawdopodobieństwem. Inwestor zajął kiedyś długą pozycję na kontrakcie ale od tamtej chwili kurs spadł o 50 punktów.   Sporządzimy wykresy prawdopodobieństwa uzyskania jakiegokolwiek zysku z inwestycji w zależności od liczby dni do wygaśnięcia, dla różnych prawdopodobieństw wzrostu kursu   (0,4; 0,45; 0,5; 0,55; 0,6; 0,65)

21

22 Poprzedni problem dla początkowego spadku o 30 punktów

23

24 Powrót do źródła   Punkt startowy błądzącej cząstki nazywamy źródłem   Mówimy, że pierwszy powrót cząstki do źródła nastąpił w k- tym kroku, jeżeli cząstka ta w krokach wcześniejszych nie była rejestrowana w punkcie startu Zakładamy że kurs kontraktu w każdym dniu wzrasta o k punktów z prawdopodobieństwem p lub spada o k punktów z prawdopodobieństwem q.   Jakie jest prawdopodobieństwo, że kurs kontraktu powróci po dokładnie 2n dniach do poziomu przy którym inwestor zajął pozycję?   Jaka jest oczekiwana liczba powrotów do tego poziomu na przestrzeni 2n dni ?

25 Powrót do źródła

26 Prawdopodobieństwo powrotu do źródła w chwili 2n   Powroty do źródła mogą następować tylko w momentach parzystych, w przypadku gdy liczba kroków w górę jest taka sama jak w dół   Skorzystamy ze schematu Bernoulliego   Prawdopodobieństwo powrotu do źródła w dokładnie 2n krokach przy błądzeniu asymetrycznym

27 Oczekiwana liczba powrotów do źródła w 2n krokach   Po 2 krokach, błądzenie może zakończyć się w zerze lub poza nim. Oczekiwana liczba powrotów po 2 krokach wynosi więc   Po 4 krokach, błądzenie może zakończyć się w zerze lub poza nim. Oczekiwana liczba powrotów po 4 krokach wynosi więc   itd..

28 Oczekiwana liczba powrotów w czasie błądzenia o długości 2n kroków = =

29 Powrót do źródła excel

30 Prawdopodobieństwo długich prowadzeń   Załóżmy, że kurs kontraktu na zamknięciu każdej sesji wzrasta lub spada o 10 punktów z jednakowym prawdopodobieństwem. Inwestor zajmuje długą pozycję na kontrakcie. Zakładając, że po 20 dniach kurs kontraktu będzie wyższy o 20 punktów obliczymy prawdopodobieństwo tego, że kurs będzie cały czas powyżej kursu zakupu.

31 Prawdopodobieństwo długich prowadzeń   Oznaczając liczbę sukcesów przez a, porażek przez b, mamy a + b = 20; a - b = 2.   Aby kurs kontraktu był cały czas powyżej kursu zakupu, po każdym dniu liczba sukcesów musi być większa niż liczba porażek. Sytuacja ta odpowiada modelowi tzw. długich prowadzeń. (W. Feller „Wstęp o rachunku prawdopodobieństwa” t.1)   Okazuje się prawdopodobieństwo długiego prowadzenia (kurs będzie cały czas powyżej kursu zakupu)   to liczba (a-b)/(a+b)

32 Oczekiwany kwadrat odległości od źródła po n krokach błądzenia symetrycznego   d i - odległość od źródła i-tego punktu docelowego   p i - prawdopodobieństwo dotarcia do i-tego punktu docelowego   Niech w każdym kroku cząstka przemieszcza się w górę lub w dół o jeden (jednostkowy wzrost lub spadek ceny). Obliczymy wartość oczekiwanego kwadratu odległości od punktu startu po n krokach. (oczekiwanego kwadratu różnicy ceny końcowej i początkowej)

33 Oczekiwany kwadrat odległości od źródła po 6 oraz po 7 krokach błądzenia symetrycznego

34 Oczekiwany kwadrat odległości od źródła po n krokach błądzenia symetrycznego

35   Ponieważ oczekiwana pozycja docelowa przy błądzeniu symetrycznym to punkt zerowy, więc pojęcie oczekiwanego kwadratu odległości od źródła pokrywa się z wariancją wartości docelowej błądzenia.   W języku zmiennych losowych, błądzenie w n krokach jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwupunktowym Y n = X 1 + X 2 +…+ X n   gdzie X i przyjmuje wartości 1 lub (-1) z jednakowymi prawdopodobieństwami, wariancja takiej zmiennej wynosi 1. Z niezależności zmiennych X i wynika, że wariancja zmiennej Y n jest sumą wariancji poszczególnych X i, co daje n.   Zatem oczekiwany kwadrat odległości od źródła po n krokach błądzenia symetrycznego wynosi n.

36 Oczekiwany kwadrat odległości od źródła po n krokach błądzenia symetrycznego   Zatem   Pierwiastek z oczekiwanego kwadratu odległości od źródła jest więc odchyleniem standardowym wartości docelowej błądzenia, czyli zmiennej Y n

37 Oczekiwany kwadrat odległości od źródła po n krokach błądzenia symetrycznego, przy jednostkowym kroku długości d Oczekiwany kwadrat odległości od źródła w tym przypadku jest iloczynem tej wielkości dla jednostkowego kroku oraz d 2 Pierwiastek z oczekiwanego kwadratu odległości od źródła, czyli odchylenie standardowe wartości docelowej błądzenia wynosi więc d  n

38 Literatura Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 Teoria inwestycji finansowych D. Luenberger Wstęp o rachunku prawdopodobieństwa t.1 W. Feller Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005