1 Kryterium Nyquista Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’aHarry Nyquist (ur. 7 lutego 1889r., Nilsby, Szwecja, zm. 4 kwietnia 1976r. Harlingen, Teksas), elektrotechnik amerykański pochodzenia szwedzkiego. Wieloletni pracownik Bell Telephone Laboratories. Twórca kryterium do badania stabilności układów sterowania. Prowadził prace z automatyki. /Wikipedia/ Cecha charakterystyczna kryterium Nyquist’a Analiza stabilności systemu zamkniętego z ujemnym sprzężeniem zwrotnym prowadzona jest w oparciu charakterystyki częstotliwościowe (wykres Nyquista, wykresy Bode’a) transmitancji systemu otwartego

2 Równanie charakterystyczne układu zamkniętego Transmitancja układu zamkniętego Transmitancja układu otwartego Równanie charakterystyczne układu zamkniętego Równanie charakterystyczne układu otwartego stabilność układu zamkniętego stabilność układu otwartego

3 Zależności 1. Wielomiany Lo(s) i Mo(s) są względnie pierwsze Niech transmitancja układu otwartego będzie przedstawiona w postaci ułamka wielomianów zmiennej zespolonej s Założymy, że 2. Stopień Lo(s) = m  n = Stopień Mo(s) (1) Równanie charakterystyczne układu otwartego (przyrównanie mianownika transmitancji do zera) (2)

4 Transmitancja układu zamkniętego(3)

5 Równanie charakterystyczne układu zamkniętego (przyrównanie mianownika transmitancji do zera)(4) (5)

6 W oparciu o (1) – (5) z poprzedniego wykładu możemy twierdzić:1. Zera układu zamkniętego Gz(s) są takie same jak zera układu otwartego Go(s)

7 2. Bieguny M(s) = 1 + Go(s) są też biegunami transmitancji układu otwartego Go(s),

8 3. Zera M(s) = 1 + Go(s) są biegunami transmitancji układu zamkniętego Gz(s), a zatem pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego

9 Kryterium Nyquist’a opiera się na zasadzie argumentu Cauchy’ego związanej z odwzorowaniami zespolonymi Odwzorowanie punktów pomiędzy płaszczyznami zespolonymi

10 Skupimy dalej uwagę na odwzorowaniach postacii prześledźmy zagadnienie Odwzorowanie konturów (krzywej zamkniętej) pomiędzy płaszczyznami zespolonymi

11 Przyjmiemy konwencję W PRAWOOdwzorowanie konturów może odbywać się przy przemieszczaniu się po nim punktu s na s - płaszczyźnie 1. w prawo - zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara – ujemna zmiana kąta wektora wodzącego, albo 2. w lewo - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara – dodatnia zmiana kąta wektora wodzącego Przyjmiemy konwencję W PRAWO

12 Punkt obejmowany i okrążany przez konturPonieważ kryterium Nyquist’a jest metodą graficzną należy ustalić rozumienie pewnych związanych z tym pojęć Punkt obejmowany i okrążany przez kontur  Obejmowany – Będziemy mówili, że punkt jest obejmowany przez kontur (krzywą zamkniętą), jeżeli znajduje się on wewnątrz tego konturu Punkt A jest obejmowany przez kontur Γ, ponieważ A znajduje się wewnątrz konturu Γ Punkt B nie jest obejmowany przez konturΓ, ponieważ B znajduje się na zewnątrz konturu Γ

13 Punkt A jest okrążany przez konturem Okrążany – Będziemy mówili, że punkt lub obszar jest okrążany przez kontur, jeżeli leży on po prawej stronie konturu przy jego przechodzeniu w przypisanym kierunku Punkt A jest okrążany przez konturem

14 Kiedy punkt jest okrążany przez kontur , przypisujemy liczbę N liczbie tych okrążeńOkrążeniu zgodnemu z ruchem wskazówek zegara przypisuje się wartość -1 Okrążeniu przeciwnemu do ruchu wskazówek zegara przypisuje się wartość 1

15 Określanie liczby okrążeń początku układu współrzędnych G-płaszczyzny

16 Pytania - przy obieganiu przez s konturu na s-płaszczyźnie w prawo w jakim kierunku będzie obiegał G(s) kontur na G-płaszczyźnie? - jak będzie umiejscowiony kontur na G-płaszczyźnie w zależności od tego, czy kontur na s-płaszczyźnie obejmuje na niej, czy też nie obejmuje jakieś zera lub bieguny odwzorowania G(s)?

17

18

19 Zachodzi: 1. Kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny wtedy, i tylko wtedy, gdy kontur Γs na s-płaszczyźnie obejmuje na tej płaszczyźnie jakiekolwiek zero lub jakikolwiek biegun odwzorowania G 2a. Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara biegun (P=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (N=1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi 2π 2b. Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara zero (Z=1) odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża raz początek układu współrzędnych G-płaszczyzny w kierunku zgodnym do ruchu wskazówek zegara (N=-1), a zatem zmiana fazy odwzorowania G(s) wynosi -2π

20 Odkryliśmy zasadę argumentu Cauchy’ego !!!Uogólnienie: Jeżeli kontur Γs okrąża raz zgodnie z ruchem wskazówek zegara Z zer i P biegunów odwzorowania G na s-płaszczyźnie, to kontur ΓG okrąża początek układu współrzędnych G-płaszczyzny N=P-Z razy, przy czym jeżeli N>0 to w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a jeżeli N<0 to w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara Odkryliśmy zasadę argumentu Cauchy’ego !!!

21 Kryterium Nyquista bazuje na zasadzie argumentu Cauchy’ego (analiza zespolona)Niech G(s) będzie funkcją zmiennej zespolonej s, analityczną (różniczkowalną względem zmiennej zespolonej) w pewnym obszarze s-płaszczyzny, co najwyżej z wyjątkiem skończonej liczby punktów. Załóżmy, że pewien kontur Γs został wybrany na s-płaszczyźnie w taki sposób, że wszystkie jego punkty są analityczne. Kontur ΓG uzyskany na F-płaszczyźnie z odwzorowania konturu Γs funkcją G(s), będzie okrążał początek układu współrzędnych G-płaszczyzny tyle razy, ile wynosi różnica liczby biegunów i liczby zer funkcji G(s), które są obejmowane przez kontur Γs N = P - Z gdzie Z jest liczbą zer G(s) obejmowanych przez Γs , P jest liczba biegunów G(s) obejmowanych przez Γs , a N jest liczbą okrążeń przez ΓG początku układu współrzędnych F-płaszczyzny

22 Jak określić kontur Γs jeżeli interesuje nas badanie stabilności?Kontur Γs powinien obejmować całą prawą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej s wraz z osią urojoną z wyłączeniem co najwyżej skończonej liczby jej punktów – kontur ten będziemy nazywali konturem Nyquist’a lub D-konturem

23 Kiedy bieguny lub zera układu otwartego leżą w początku układu współrzędnych płaszczyzny s lub na osi urojonej Sposób postępowania (jeden z możliwych) Modyfikujemy kontur Nyquist’a tak, aby obejść biegun lub zero jako położony w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s – obchodzimy go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu  położonym w prawej półpłaszczyźnie

24 Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j0) zamiast punktu (0,j0)Kryterium Nyquista bazuje na odwzorowaniu konturu Nyquista w wykres Nyquista układu otwartego Kontur Nyquista Wykres Nyquista (wykreślanie wykresu transmitancji układu otwartego dla określenia stabilności układu zamkniętego) Wykres Cauchy’ego Punktem krytycznym staje się punkt (-1, j0) zamiast punktu (0,j0)

25 Problem stabilności – kryterium Nyquist’a:1. Czy układ zamknięty posiada bieguny w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s? Wiemy: (patrz początek materiału) Bieguny transmitancji układu zamkniętego Gz(s) są zerami M(s)=1+Go(s) 2. Czy M(s)=1+Go(s) posiada zera w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s?  Korzystając z zasady argumentu możemy twierdzić, że liczba tych zer wynosi: Z = P - N 3. Aby układ zamknięty był stabilny: Z=0 lub P=N

26 Przypomnijmy co reprezentują w tym ujęciu Z, P oraz N?Z – liczba zer M(s)=1+Go(s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu zamkniętego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. Dla stabilnego układu zamkniętego Z musi być równe zero P – liczba biegunów M(s)=1+Go(s) w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s, równa liczbie biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie tejże płaszczyzny. P może być określone wprost lub z kryterium Routh’a N – liczba okrążeń charakterystyki Nyquista układu otwartego punktu (-1,j0). Okrążenia przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara są dodatnie, zgodne w kierunkiem ruchu wskazówek zegara są ujemne

27 Kryterium Nyquista można sformułować następującoAby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) powinien okrążać punkt (-1, j0) tyle razy ile biegunów układu otwartego leży w prawej półpłaszczyźnie zespolonej s; okrążenia wykresu Nyquist’a punktu (-1,j0), jeżeli istnieją powinny być w kierunku przeciwnym do kierunku konturu Nyquist’a Kryterium Nyquista dla bardzo częstego przypadku kiedy P=0 - liczba biegunów układu otwartego w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej wynosi zero, tzn. kiedy układ otwarty jest stabilny Jeżeli układ otwarty jest stabilny, P=0, to aby układ zamknięty był stabilny, wykres Nyquist’a układu otwartego Go(s)=G(s)H(s) nie powinien obejmować punktu (-1, j0)

28 Podsumowanie - kryterium Nyquista Problem: Czy funkcja wymierna 1 + Go(s) ma, czy też nie ma zer w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s?  Rozwiązanie: Wykorzystanie zasady argumentu Cachy’ego Podstawienie  Ułatwienie: Wykorzystanie charakterystyki układu otwartego i punktu (-1,j0) jako punktu krytycznego

29 Czy układ zamknięty jest stabilny?Przykład 1 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

30 K= i i K= i i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2

31

32 Czy układ zamknięty jest stabilny?Przykład 2 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

33 K=1 i i K=5 i i K=10 i i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0

34

35 Czy układ zamknięty jest stabilny?Przykład 3 Rozważmy Czy układ zamknięty jest stabilny? A jeżeli? P=0, N=0; Z=P-N=0

36 K=1 i i K=10 i i K=20 i i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=-2; Z=P-N=2

37

38 Przykład 4 K=1 i i K=2 i i K=5 i i P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0 P=0, N=0; Z=P-N=0

39

40 Przykład 5

41 K=0.5 i i K=2 i i K=3 i i K=5 i i Dla wszystkich przypadków: P=0, N=-2; Z=P-N=2

42

43 Przykład 6 P =0, N = 0; Z=P-N=0

44 Przykład 7 P =1, N = -1; Z=P-N=2

45 K=1 0.7773 0.2556 K=5 i i K=10 i i

46

47 Przykład 8 P =1, N = 1; Z=P-N=0

48 i i

49

50 Zapas stabilności Istnieje potrzeba określania w jakim stopniu układ jest stabilny – jak daleko znajduje się od punktu w którym stanie się niestabilny Użyteczne idee  zapas modułu (wzmocnienia) – gm (2-6)  zapas fazy – m (45o – 60o) Obydwie miary określają bliskość wykresu Nyquist’a od punktu krytycznego (1, j0) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej

51 Zapas modułu (wzmocnienia) – gm Jeżeli moduł transmitancji układu otwartego, stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym przesunięciu fazowemu –180o wynosi  to zapas modułu (wzmocnienia) wynosi gm= 1/

52 Zapas fazy – m  Jeżeli przesuniecie fazowe transmitancji układu otwartego stabilnego układu zamkniętego w punkcie odpowiadającym modułowi o wartości 1 wynosi  to zapas fazy wynosi m = 