1 Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012Analiza matematyczna IV. Całki WYKŁAD 9 Całki nieoznaczone Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

2 Plan wykładu funkcja pierwotna, definicja całki nieoznaczonej,całki nieoznaczone niektórych funkcji elementarnych, twierdzenia o całkach nieoznaczonych, całkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych oraz funkcji zawierających niewymierności.

3 Funkcja pierwotna Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli: dla każdego

4 Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnychFunkcja pierwotna Twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wtedy: jest funkcją pierwotną funkcji f na I, każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci:

5 Funkcja pierwotna Warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotną na tym przedziale.

6 Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi:

7 Całka nieoznaczona Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez lub

8 Całka nieoznaczona Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

9 Całka nieoznaczona Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego Niech funkcja f’ ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego gdzie

10 Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

11 Twierdzenia o całkach nieoznaczonychLiniowość całki oznaczonej Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to:

12 Twierdzenia o całkach nieoznaczonychCałkowanie przez podstawienie Jeżeli funkcja f : I  R jest ciągła na przedziale I, funkcja  : J  I ma ciągłą pochodną na J, to: gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną f oraz

13 Twierdzenia o całkach nieoznaczonychCałkowanie przez części Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to:

14 Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

15 Całkowanie funkcji wymiernychFunkcję wymierną nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.

16 Całkowanie funkcji wymiernychFunkcję wymierną właściwą postaci gdzie nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. gdzie przy czym nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

17 Całkowanie funkcji wymiernychŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

18 Całkowanie funkcji wymiernychDo obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy wzory:

19 Całkowanie funkcji wymiernychDo obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór: Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia a drugą po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej i podstawieniu

20 Całkowanie funkcji wymiernychUwaga Istnieje wzór rekurencyjny: dla

21 Całkowanie funkcji trygonometrycznychFunkcję, którą można przedstawić w postaci ilorazu wielomianów dwóch zmiennych, nazywamy funkcją wymierną dwóch zmiennych.

22 Całkowanie funkcji trygonometrycznychNiech R(u,v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas do obliczania całek w postaci w zależności od warunków jakie spełnia funkcja R stosujemy podstawienia:

23 Całkowanie funkcji trygonometrycznychŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

24 Całkowanie funkcji trygonometrycznychŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

25 Całkowanie funkcji z niewymiernościamiNiech R(u,v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas do obliczania całek w postaci gdzie a > 0, stosujemy podstawienia:

26 Całkowanie funkcji z niewymiernościamiŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

27 Całkowanie funkcji z niewymiernościamiŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.