1 Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012Analiza matematyczna V. Szeregi WYKŁAD 13 Szeregi liczbowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012
2 Plan wykładu definicja szeregu liczbowego,kryteria zbieżności szeregów, zbieżność bezwzględna szeregów.
3 Definicja szeregu liczbowegoNiech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie: Szereg taki oznaczamy Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem ciągu, a liczbę Sn n-tą sumą częściową tego szeregu.
4 Definicja szeregu liczbowegoŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.
5 Definicja szeregu liczbowegoMówimy, że szereg jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu (Sn). Jeżeli to mówimy, że szereg jest zbieżny odpowiednio do - albo do . W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg jest rozbieżny.
6 Definicja szeregu liczbowegoSumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg. Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.
7 Definicja szeregu liczbowegoJeżeli szeregi są zbieżne i c jest liczbą rzeczywistą, to: - szereg jest zbieżny, oraz: - szereg jest zbieżny, oraz:
8 Definicja szeregu liczbowegoSzereg geometryczny jest zbieżny w.t.w., gdy Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy: Przyjmujemy, że
9 Definicja szeregu liczbowegoWarunek konieczny zbieżności szeregu Jeżeli szereg jest zbieżny, to UWAGA Szereg jest rozbieżny!
10 Kryteria zbieżności szeregówKryterium całkowe Niech funkcja będzie nierosnąca. Wówczas: jest zbieżny jest zbieżna. Reszta szeregu spełnia oszacowanie
11 Kryteria zbieżności szeregówŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.
12 Kryteria zbieżności szeregówSzereg: zbieżny dla p>1, rozbieżny dla p1.
13 Kryteria zbieżności szeregówKryterium porównawcze Jeżeli: - - szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) to: szereg jest zbieżny ( jest rozbieżny) Prawdziwe są analogiczne twierdzenia dla szeregów o wyrazach niedodatnich.
14 Kryteria zbieżności szeregówKryterium ilorazowe Niech an, bn > 0 dla każdego nn0 oraz niech: wtedy: jest zbieżny jest zbieżny. Twierdzenie jest też prawdziwe dla szeregów o wyrazach ujemnych.
15 Kryteria zbieżności szeregówKryterium d’Alemberta - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.
16 Kryteria zbieżności szeregówKryterium Cauchy’ego - Jeżeli to jest zbieżny. - Jeżeli to jest rozbieżny. - Jeżeli to kryterium nie rozstrzyga.
17 Zbieżność bezwzględna szeregówTwierdzenie Leibniza o zbieżności szeregu naprzemiennego Jeżeli: - ciąg (bn) jest nierosnący od numeru - to szereg naprzemienny jest zbieżny.
18 Zbieżność bezwzględna szeregówŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.
19 Zbieżność bezwzględna szeregówSzereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg jest zbieżny. Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zapewniające zbieżność szeregu gwarantują jednocześnie jego zbieżność bezwzględną.
20 Zbieżność bezwzględna szeregówJeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.
21 Sumy ważniejszych szeregówSzeregi liczbowe Sumy ważniejszych szeregów Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.