1 kurs mechaniki kwantowej przy okazji: język angielski kurs mechaniki kwantowej przy okazji: język angielski

2 WYKŁAD 4 FALOWY CHARAKTER CZĄSTEK MATERIALNYCHPOJĘCIE FALOWEJ AMPLITUDY PRAWDOPODOBIEŃSTWA W MECHANICE KWANTOWEJ (interferencja dla cząstek materialnych; doświadczenie Davissona – Germera i inne, zasada nieoznaczoności, tunelowanie, STM)

3 DOŚWIADCZENIE DAVISSONA – GERMERAZmianie napięcia przyspieszającego towarzyszy powstawanie obrazu charakterystycznego dla dyfrakcji promieni X na krysztale Ni Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

4 DOŚWIADCZENIE DAVISSONA – GERMERASilna interferencja występuje dla określonego napięcia przyspieszającego elektrony Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

5 DOŚWIADCZENIE MÖLLENSTEDTA - DÜKERAElektronowy analog bipryzmatu Fresnela; na włóknie ujemne napięcie odpychające elektrony; powstają dwa pozorne źródła; na płycie fotograficznej obserwujemy prążki interferencyjne. Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

6 DYFRAKCJA NEUTRONÓW Feynman, III tom, rozdz. 3. Podrozdział 3.3 – dyfrakcja neutronów; kiedy jest, a kiedy nie ma interferencji Copyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

7 DOŚWIADCZENIE YOUNGA NA ATOMACHCopyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

8 PORÓWNANIE DYFRAKCJI ŚWIATŁA I ELEKTRONÓWCopyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

9 Dla fal elektromagnetycznych i fotonów mieliśmy:Efekt fotoelektryczny, zjawisko Comptona Związek p z λ zgodny z teorią klasyczną (pęd niesiony przez falę e-m, równania Maxwella) i teorią względności (trójkąt mnemotechniczny dla cząstek bez masy)

10 Obie relacje przenosimy na cząstki materialne:wzór de’ Broglie’a E jest energią, p jest pędem cząstki materialnej Fala prawdopodobieństwa (amplituda prawdopodobieństwa) zwana funkcją falową i oznaczana ψ, jest falą płaską dla cząstek o określonej energii i nieokreślonym położeniu (Feynman t. I, rozdz. 37, 38) ω i k to częstość i wektor falowy funkcji falowej

11 PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ1. Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia (przejścia od stanu początkowego do końcowego) jest dane przez kwadrat modułu zespolonej liczby Φ nazywanej amplitudą prawdopodobieństwa, oznaczanej w notacji Diraca (bra i ket). P = prawdopodobieństwo Φ = amplituda prawdopodobieństwa P = |Φ|2 = ΦΦ* = ()() Amplitudę prawdopodobieństwa nazywamy funkcją falową. Dla cząstki o określonym pędzie (energii) i nieokreślonym położeniu funkcja falowa jest falą płaską, exp[i(kx – ωt)]

12 PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ2. Jeśli zdarzenie może zajść na kilka alternatywnych sposobów, np. dwa, poprzez dwa różne stany pośrednie: <1|początek>, <2|początek> to amplituda prawdopodobieństwa dla tego zdarzenia jest sumą amplitud prawdopodobieństwa dla każdego ze sposobów na jaki może ono zajść. Φ = Φ1 + Φ2; = <1|p> + <2|p> Wystąpi interferencja gdyż: P = | Φ1 + Φ2|2 = |Φ1|2 + |Φ2|2 + Φ1Φ*2 + Φ*1Φ2 = P1 + P2 + wyraz interferencyjny wyraz Przypadek ten występuje w omawianych wcześniej doświadczeniach (Davissona – Germera itd.)

13 PODSTAWOWE ZASADY MECHANIKI KWANTOWEJ3. Jeśli jesteśmy w stanie określić, który z alternatywnych sposobów zachodzi (sprawdzamy przez który z otworów przechodzi elektron) to prawdopodobieństwo zdarzenia jest sumą prawdopodobieństw dla każdego z tych alternatywnych sposobów. Nie występuje interferencja. P = | Φ1|2 + |Φ2|2 = P1 + P2 () = (<1|p>) (<1|k>) + (<2|p>) (<2|k>) „Sprawdzanie” nie oznacza, że sprawdzamy „my”, wystarczy, że taka możliwość istnieje, tzn. istnieje taka informacja w układzie fizycznym, nawet jeśli nie chcemy lub nie umiemy z niej skorzystać. Kot Schrödingera nie jest jednocześnie żywy i martwy zbyt długo tzn. Φ = Φ1 + Φ2 bardzo szybko przechodzi w P = P1 + P2 . Przypadek ten występuje także w omawianym przez Feynmana (rozdz. 3.3 t. III) rozpraszaniu neutronów.

14 Cząstka nierelatywistyczna gdzie V wyrażamy w woltach, a λ w ÅWzór de’Broglie’a; związek pomiędzy długością fali, a napięciem przyspieszającym dla cząstki naładowanej Cząstka nierelatywistyczna zatem: Ponieważ: mamy ostatecznie: gdzie V wyrażamy w woltach, a λ w Å

15 Dla cząstek relatywistycznych, z trójkąta mnemo:Ponieważ: mamy ostatecznie:

16 Dyfrakcja funkcji falowej, a zasada nieoznaczonościCopyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

17 a z relacji de’Broglie’a: zasada nieoznaczoności HeisenbergaPrzed szczeliną płaska fala (nieoznaczoność położenia w kierunku x nieskończona, nieoznaczoność pędu zero) Za szczeliną: Z dyfrakcji: a z relacji de’Broglie’a: zasada nieoznaczoności Heisenberga

18 Doświadczenie Younga na cząstkach materialnych

19 a niepewność kierunku cząstki wynosi:Warunkiem obserwacji prążków jest nieoznaczoność położenia cząstki w momencie przechodzenia przez szczeliny (nie możemy wiedzieć przez którą szczelinę przeszła cząstka): przybliżona a niepewność kierunku cząstki wynosi: Ponieważ: a (de’Broglie): więc:

20 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMUDlaczego elektron nie wyląduje na jądrze? Klasycznie, krążąc wypromieniowuje energię i promień powinien maleć do zera. Byłby to stan o najniższej energii, po wypromieniowaniu NIESKOŃCZONEJ energii. Taki „zapadnięty” atom miałby mały rozmiar i nieskończoną energię wiązania. Wszystkie atomy byłyby jednakowe, nie ma chemii i biologii. Elektron w takim atomie miałby określone położenie i pęd (x = 0 i p = 0), czyli mielibyśmy: na co nie pozwala mechanika kwantowa.

21 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMU

22 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMUr – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc: czyli pęd nie może być równy 0.

23 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMUr – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc: czyli pęd nie może być równy 0. Powiedzmy, że średni pęd będzie: Energia kinetyczna elektronu:

24 ZASADA NIEOZNACZONOŚCI A WIELKOŚĆ ATOMUr – promień atomu (niepewność położenia elektronu) więc: czyli pęd nie może być równy 0. Powiedzmy, że średni pęd będzie: Energia kinetyczna elektronu: Energia potencjalna: Całkowita energia atomu

25 Ek a0 E Ep promień Bohra 0.528Å R - stała RydbergaCopyright © Springer-Verlag, The Physics of Atoms and Quanta by Hermann Haken and Hans Christoph Wolf Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2002

26 Cząstka przenika przez barierę (T < 1); efekt kwantowyZjawisko tunelowe, tunelowanie (przenikanie) cząstki materialnej przez barierę potencjału Ponieważ: w obszarach x < 0 i x > L i: dla x > 0 i x < L (Re(Ψ))2 tu oscylacje o mniejszej amplitudzie Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Cząstka przenika przez barierę (T < 1); efekt kwantowy

27 Skaningowy mikroskop tunelowy STM (STM – Scanning Tunneling Microscope)Zasada działania: Piezoelektryczne pręty kwarcowe umożliwiają skanowanie powierzchni (x,y) i śledzenie wysokości ostrza nad powierzchnią próbki (z). Mapa z(x,y) tworzy obraz powierzchni Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Obraz STM powierzchni próbki Au Wikimedia Commons Made by: Erwin Rossen, Eindhoven University of Technology, 2006.