1 La Transformada de LaplaceCAPÍTULO 4 ※Read Me First

2 Contenidos 4.1 Definición de la transformada de Laplace4.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 4.3 Propiedades operacionales 4.4 Propiedades operacionales adicionales 4.5 La función delta de Dirac 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

3 4.1 Definición de la Transformada de LaplaceDefinición básica Si f(t) está definida para t  0, entonces (1) Si f(t) está definida para t  0, entonces (2) es la Transformada de Laplace de f. EDFINICIÓN 4.1 Transformada de Laplace

4 Ejemplo 1 Evaluar L{1} Solución: Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y . De la definición Como e-st  0 cuando t , para s > 0.

5 Ejemplo 2 Evaluar L{t} Solución

6 Ejemplo 3 Evaluar L{e-3t} Solución

7 Ejemplo 4 Evaluar L{sin 2t} Solución

8 Ejemplo 4 (2) Transformada de Laplace de sin 2t ↓

9 T.L. is Linear Podemos comprobar fácilmente que (3)

10 Transformadas de algunas(b) (c) (d) (e) (f) (g) TEOREMA 4.1 Transformadas de algunas Funciones básicas

11 Se dice que f(t) es de orden exponencial, EDFINICIÓN 4.2 Se dice que f(t) es de orden exponencial, Si existen constantes c, M > 0, y T > 0, tales que |f(t)|  Mect para todo t > T. Fig 4.1, 4.2. Orden Exponencial

12 Fig 4.1

13 Fig 4.2

14 Eejmplos Fig 4.3

15 Fig 4.4 Una función como no es de orden exponencial, observe Fig 4.4

16 Condiciones SuficientesTEOREMA 4.2 Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c. Condiciones Suficientes para la Existencia

17 Ejemplo 5 Hallar L{f(t)} para Solución

18 4.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadasTEOREMA 4.3 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Algunas transformadas inversas

19 Ejemplo 1 Hallar las transformadas inversas de (a) (b)Solución (a) (b)

20 L -1 también es lineal Podemso comprobar fácilmente que (1)

21 Ejemplo 2 Hallar Solución (2)

22 Ejemplo 3 Hallar Solución Usando fracciones parcialesLuego (3) Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces

23 Ejemplo 3 (2) (4) Así (5)

24 Transformadas de Derivadas(6) (7) (8)

25 Si son continuas en [0, ) y son de TEOREMA 4.4 Si son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces donde Transformada de una derivada

26 Solución de EDO linealesLuego (9) (10)

27 Tenemos (11) donde

28

29 Ejemplo 4 Resolver Solución (12) (13)

30 Ejemplo 4 (2) Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así

31 Ejemplo 5 Resolver Solución (14) Así

32 4.3 Propiedades operacionalesTEOREMA 4.5 Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lims L{f} = 0. Comportamiento de F(s) cuando s →  Demostración

33 TEOREMA 4.6 Si L{f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a), Fig 4.10. Primer teorema de traslación Demostración L{eatf(t)} =  e-steatf(t)dt =  e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)

34 Fig 4.10

35 Ejemplo 1 Hallar las T.L. de (a) (b) Solución (a) (b)

36 Forma inversa del Teorema 4.6(1) donde

37 Ejemplo 2 Hallar la T.L. inversa de (a) (b)Solución (a) teenmos A = 2, B = (2)

38 Ejemplo 2 (2) And (3) De (3), tenemos (4)

39 Ejemplo 2 (3) (b) (5) (6) (7)

40 Ejemplo 3 Resolver Solución

41 Ejemplo 3 (2) (8)

42 Ejemplo 4 Resolver Solución

43 Ejemplo 4 (2)

44 La función escalón unitaria U(t – a) se define como EDFINICIÓN 4.3 La función escalón unitaria U(t – a) se define como Función escalón unitario Fig 4.11.

45 Fig 4.11

46 Fig Fig 4.13 Fig 4.12 muestra la gráfica de (2t – 3)U(t – 1). Considerando la Fig 4.13, es la misma que f(t) = 2 – 3U(t – 2) + U(t – 3)

47 También una función del tipo. (9) es la misma queTambién una función del tipo (9) es la misma que (10) De manera similar, una función del tipo (11) puede escribirse como (12)

48 Ejemplo 5 Expresar en términos de U(t). Fig 4.14.Solución De (9) y (10), con a = 5, g(t) = 20t, h(t) = 0 f(t) = 20t – 20tU(t – 5)

49 Fig 4.14

50 Cosidere la función (13) Fig 4.15.

51 Fig 4.15

52 TEOREMA 4.7 Si F(s) = L{f}, y a > 0, entonces L{f(t – a)U(t – a)} = e-asF(s) Segundo teorema de traslación Demostración

53 Sea v = t – a, dv = dt, entonces Si f(t) = 1, entonces f(t – a) = 1, F(s) = 1/s, (14) por ejemplo: La T.L. de la Fig 4.13 es

54 Forma inversa del Teorema 4.7(15)

55 Ejemplo 6 Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) luego(b) luego

56 Forma alternativa del Teorema 4.7Como , entonces Lo anterior se puede resolver. Sin embargo, lo enfocamos de otra manera. Sea u = t – a, Esto es, (16)

57 Ejemplo 7 Hallar Solución Con g(t) = cos t, a = , entonces g(t + ) = cos(t + )= −cos t Por (16),

58 Ejemplo 8 Resolver Solución Hallamos f(t) = 3 cos t U(t −), luego (17)

59 Ejemplo 8 (2) Se sigue desde (15) con a = , entonces Así(18) Fig 4.16

60 Fig 4.16

61 Vigas Recuerde que la ED de una viga es (19) Fig 4.17.

62 Fig 4.17

63 Ejemplo 9 Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos como se ilustra en la Fig Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por: Solución Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0, y’(0) = y’(L) = 0. Por (10),

64 Ejemplo 9 (2) Transformando (19) en donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)

65 Ejemplo 9 (3) Así

66 Ejemplo 9 (4) Aplicamos y(L) = y’(L) = 0, entonces Así

67 4.4 Propiedades Operacionales AdicionalesMultiplicando una función por tn esto es, De manera similar,

68 Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entoncesTEOREMA 4.8 Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces Derivadas de una transformada

69 Ejemplo 1 Hallar L{t sen kt}Solución Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego

70 Enfoques diferentes Teorema 4.6: Teorema 4.8:

71 Ejemplo 2 Resolver Solución ó Del ejemplo 1, Así

72 Convolución Un producto especial, f * g se define mediante al integral y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de t, por ejemplo: Observación: f * g = g * f

73 Demostración Teorema de convolución TEOREMA 4.9Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces Teorema de convolución Demostración

74 manteniendo fija, let t =  + , dt = d Se realiza al integración en la región sombreada de la Fig Cambiando el orden de integración:

75 Fig 4.32

76 Ejemplo 3 Hallar Solución Original statement = L{et * sin t}

77 Forma inversa del Teorema 4.9L-1{F(s)G(s)} = f * g (4) Mire en la tabla del Apéndice III, (5)

78 Ejemplo 4 Hallar Solución Sea entonces

79 Ejemplo 4 (2) Ahora recordamos que sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)] Si ponemos A = k, B = k(t − ), entonces

80 Transformada de una IntegralCuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces

81 Eejmplos:

82 Ecuación Integral de Volterra

83 Ejemplo 5 Resolver Solución Primero, h(t-) = e(t-), h(t) = et. De (9) Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales

84 Circuitos en Serie De la Fig 4.33, tenemosla cual se llama ecuación integrodiferencial. Fig 4.33

85 Ejemplo 6 Determine i(t) en Fig 4.33, cuando L = 0.1 h, R = 2 , C = 0.1 f, i(0) = 0, y E(t) = 120t – 120tU(t – 1) Solución Usando los datos, (10) se convierte Y entonces

86 Ejemplo 6 (2)

87 Ejemplo 6 (3) Escrita como una función definida por partes: (11)

88 Fig 4.34

89 Periodic Function f(t + T) = f(t)Si f(t) is una función periódica con período T, entonces TEOREMA 4.10 Transformada de una función periódoca

90 Demostración Use el mismo método de transformación

91 Ejemplo 7 Halle la T. L. de la función en Fig 4.35.Solución Hallamos T = 2 y Del Teorema 4.10,

92 Fig 4.35

93 Ejemplo 8 La ED (13) Hallar i(t) donde i(0) = 0, E(t) es como ilustar la Fig 4.35. Solución ó (14) Porque y

94 Luego i(t) se esribe de la siguiente manera y se ilustra en la Fig 4

95 Fig 4.36

96 4.5 La función delta de DiracImpulso Unitario Observe la Fig 4.43(a). Está función se define por (1) donde a > 0, t0 > 0. Para un valor pequeño de a, a(t – t0) es una función constante de gran magnitud. El comportamiento de a(t – t0) cuando a  0, se llama impulso unitario, porque posee la propiedad Fig 4.43(b).

97 Fig 4.43

98 La función delta de DiracEsta función se define como (t – t0) = lima0 a(t – t0) (2) Las dos propiedades importantes son: (1) (2) , x > t0

99 Demostración La Transformada de Laplace esTEOREMA 4.11 Para t0 > 0, Transformación de la función delta de Dirac Demostración La Transformada de Laplace es

100 Cuando a  0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a  0. Así , Ahora cuando t0 = 0, tenemos

101 Ejemplo 1 Resolver sujeta a (a) y(0) = 1, y’(0) = 0 (b) y(0) = 0, y’(0) = 0 Solución (a) s2Y – s + Y = 4e-2s Así y(t) = cos t + 4 sen(t – 2)U(t – 2) Como sen(t – 2) = sen t, enonces (5) Fig 4.44.

102 Fig 4.44

103 Ejemplo 1 (2) (b) Así y(t) = 4 sen(t – 2)U(t – 2) y (6)

104 Fig 4.45

105 4.6 Sistemas Eds Lineales Resortes acoplados En el ejemplo 1 trabajaremos con (1)

106 Ejemplo 1 Use T.L. para resolver (2) donde x1(0) = 0, x1’(0) = 1, x2(0) = 0, x2’(0) = −1. Solución s2X1 – sx1(0) – x1’(0) + 10X1 – 4X2 = 0 −4X1 + s2X2 – sx2(0) – x2’(0) + 4X2 = 0 Recolocando: (s2 + 10)X – 4X2 = −4X1 + (s2 + 4)X2 = −1 (3)

107 Ejemplo 1 (2) Resolviendo (3) para X1: Usamos X1(s) para obtener X2(s)

108 Ejemplo 1 (3) Luego (4)

109 Redes De la Fig 4.47, tenemos (5)

110 Fig 4.47

111 Ejemplo 2 Resolver (5) donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm,C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0. Solución Tenemos Entonces sI1(s) + 50I2(s)= 60/s −200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0

112 Ejemplo 2 (2) Resolviendo lo anterior: Así

113 Péndulo Doble De la Fig 4.48, tenemos (6)

114 Fig 4.48

115 Ejemplo 3 Compruebe que cuando la solución de (6) es (7) Fig 4.49

116 Fig 4.49