1 LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONESTEMA 3 LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES

2 Introduccion Dada una secuencia x(n), se define su Transformada Z como: (Transformada bilateral) En el caso de sistemas y señales causales: (Transformada uniteral) siendo z una variable compleja: z=x+jy

3 Sustituyendo z por su expresión en forma polar, podemos interpretar X(z) en términos de la Transformada de Fourier Luego, la Transformada Z puede interpretarse como la transformada de Fourier multiplicada por una secuencia exponencial. A partir de la definición es fácil observar que la Transformada de Fourier de una secuencia coincide con la transformada Z de la misma, evaluada sobre el círculo unidad.

4 Los principales motivos para introducir esta generalización son que:La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias. Facilita la resolución de problemas analíticos. Permite la utilización de la Teoría de variable compleja en problemas de señales y sistemas discretos

5 En este tema estudiaremos la representación de la TZ de una secuencia y veremos la relación existente entre las propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ. Análogamente a la Transformada de Fourier, la transformada Z convierte una convolución en el domino temporal en una multiplicación en el dominio Z. Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de filtros digitales. La configuración de las singularidades determina el tipo de filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse para interpretar su comportamiento frecuencial. La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del circulo unidad)

6 CONVERGENCIA DE LA TRANSFORMADA ZLa Transformada Z no converge para todas las secuencias, ni para todos los valores de z. Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina REGIÓN DE CONVERGENCIA. Para que la TZ de una secuencia sea convergente es necesario que la serie sea absolutamente sumable, es decir:

7 EJEMPLO Sea la secuencia x(n)=anu(n):

8 Propiedades de la región de convergencia:   1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un anillo centrado en el origen del plano z, y es una región conectada.     2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos ó el cero o el infinito. 3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano completo excepto,  z=0 y/o z=¥ .     4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.     5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo | z| =R está en la RdC, también lo está la región | z|     6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo centrado en el origen.

9 LA TRANSFORMADA Z INVERSAExpansión en fracciones parciales o en series de potencias. Integral de inversión compleja Inspección directa

10 Inspección Directa El método de inspección directa se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares. Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es:

11 Descomposición en Fracciones SimplesConsiste en realizar una Descomposición en Fracciones Simples e identificar las transformadas simples de los términos así obtenidos. M:orden de P(z) Si  siendo N orden de Q(z)

12 Si MSi M ≥ N y solo existen polos simples: siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto sea de un orden igual al del denominador menos 1. Con este resto se procede a descomponer en fracciones simples y el resultado se añade al de la división.

13 TEOREMA DE LOS RESIDUOSEn el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de multiplicidad s, la descomposición resulta

14 En general, si             es una función racional de z:es decir, tiene 5 polos en z = z0 (4 f(z) no tiene polos en z = z0) El residuo de dicha función en z = z0 es :                                                                                                              En particular si 5 = 1 para z0 es = p                                                                

15 Caso general: Si la función a integrar Φ (z) tiene varios polos Pi, con grados Si, dentro de C:Cálculo a partir del Teorema de los Residuos  Teorema de la integral de Canchy:

16 Transformada Z Inversa(Multiplicando por zk-1  a ambos lados e integrando...) 1 si – n + k = 0 => n= k , 0 otro caso

17 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZLINEALIDAD: Si                                                   Entonces:                                                                                                                                            DESPLAZAMIENTO: Si                                               Entonces:                                                           (posible adición o desaparición de 0/¥ )

18 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZINVERSIÓN DE UNA SECUENCIA: Si                                                Entonces:                                                 MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL:   Si                                                                                 Entonces:                                                                       

19 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZTEOREMA DEL VALOR INICIAL Si                                                                                                                                                                                      CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.- Si                                                      Entonces:                                                                                                                                                       

20 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZCONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Si   Entonces:                                                                                  

21 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZCONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS. Sea  Entonces 

22 EJEMPLO Determinar la TZ inversa de:                                                  Pero                                                         Entonces                                        Luego:                                

23 EJEMPLO Determinar la TZ de las secuencias

24 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN COMPLEJASean                                                          Entonces:                                                                           Siendo                                                                                                                                                                 

25 RELACIÓN DE PARSEVAL Sean Si X(z) y*(n) convergen en el círculo unitario           

26 FUNCIÓN DEL SISTEMA Y FILTROS DIGITALES

27 FILTROS FIR (NO RECURSIVOS) "La Función del Sistema puede expresarse como un polinomio en el numerador"

28 FILTROS IIR N > 0 "La Función del Sistema tendrá polos,de c/n de los cuales               contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"

29 Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitarioFUNCIÓN DEL SISTEMA Estabilidad:                                                                                "Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa". Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario y la zona del plano z (se entiende hasta z = ∞ , desde aquel).

30 ESTABILIDAD Si evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w=Π), pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0 Con esta interpretación se hace evidente la propiedad de periodicidad de la TF de una secuencia. Cuando la serie de potencias puede sumarse y expresarse de forma sencilla decimos que la TZ está en forma cerrada. Toda secuencia que pueda representarse como suma de exponenciales puede representarse por una TZ de tipo racional.