1 Lecture from Quantum Mechanics (in Polish)

2

3 Marek Zrałek Field Theory and Particle Physics Department. Silesian University Lecture 12 “Quantum theory provides us with a striking illustration of the fact that we can fully understand a connection though we can only speak of it in images and parables.” ― Werner Heisenberg

4

5 Why the world around us is not quantum? Why is the state of the classical object is not a linear combination of quantum states of subsystems? Traditionally, it is said about three reasons:  De Broglie wavelength of classical object extremely small,  Due to the small Planck constant, classical objects "do not feel" the Heisenberg principle  Tunnel effect for classical objects is imperceptibly small.

6 1)Ciała makroskopowe nie wykazują własności falowych Każdy obiekt o pędzie „p” jest falą o długości fali λ=h/p gdzie h jest stała Plancka Weźmy ciało o masie 1 kg, które porusza się z szybkością 1m/sek. Pęd takiego ciała jest równy p = 1kg m/sek = 1 J sek/m. Obliczając długość fali de Broglie’a otrzymamy. Falowy charakter może się urzeczywistnić gdy fala przechodzi przez przeszkody o rozmiarach równych jej długości. Przeszkody „klasyczne” mają znacznie większe rozmiary efekty falowe nie są widoczne. Następne pytanie które zadajemy: Ciała makroskopowe składają się z atomów. Każdy z nich zachowuje się w sposób kwantowy. Dlaczego więc układy klasyczne nie zachowują się kwantowo i tkwią w normalnej rzeczywistości? Pierwsza odpowiedź, która się nasuwa jest następująca: Każdy układ atomów, niezależnie jak wiele ich mamy, zachowuje się kwantowo. Jednak ze względu na duże rozmiary obiektów klasycznych, dużą ich wagę i duża skalę czasową (w porównaniu ze skalą atomową) efektów kwantowych nie widzimy (efekty interferencji, zasada nieoznaczoności Heisenberga i efekty tunelowe nie są obserwowane).

7 2) Zasada Heisenberga nie ma znaczenia dla ciał makroskopowych. Przykład: Piłkę o masie 0.2 kg lokalizujemy z dokładnością do Δx = 1 mm. Jaka jest nieokreśloność szybkości piłki Δv? Korzystamy z zasady Heisenberga dla położenia i pędu, stąd. Otrzymamy zupełnie nie dającą się rozróżnić zmianę prędkości. 1a) Jaka jest długość fali de Broglie’a dla elektronu w atomie wodoru?, E = 13 eV wtedy. Dla takiego obiektu długość fali de Broglie’a jest równa. Są to więc rozmiary atomowe. Zjawiska falowe w świecie atomowym są bardzo istotne. 2a) Zasada Heisenberga w atomie wodoru W tym przypadku. Niech wtedy nieoznaczoność położenia elektronu w atomie wynosi porównywalna z rozmiarami całego atomu.

8 3) Efekt tunelowy dla obiektu makroskopowego W mikroświecie cząstka może przechodzić przez tzw. bariery potencjałów – obszary gdzie jej energia kinetyczna jest ujemna, a więc zupełnie nie do przyjęcia z klasycznego punktu widzenia. Prawdopodobieństwo przejścia przez barierę potencjału o wysokości „V” i grubości „ l ” dla cząstki o masie „m” i energii E < V, wynosi (dla ) gdzie V l E  Iloczyn decyduje o wielkości prawdopodobieństwa,  Mikroskopowo „l” może być małe, makroskopowo jest duże,  W parametrze ρ wielkości makroskopowe (m V) są dzielone przez małe,  Mikroskopowo może być małe. Można obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że 100 kg więzień przeniknie z celi więziennej na zewnątrz przez ścianę o grubości 1m. Otrzymamy: Zadanie: Obliczyć to prawdopodobieństwo przejścia

9 Paradoks kota Schrödingera Dlaczego stan obiektu klasycznego nie jest kombinacją liniową stanów podukładów?

10 Jeżeli jednak nasz świat jest ciągle kwantowy a tylko z powodów praktycznych tego nie widzimy wpadniemy momentalnie w wiele problemów interpretacyjnych. Jeden z nich, najbardziej znany podał Schrödinger w 1935 r. (od tego czasu znany jako „paradoks kota Schrödingera”) E. Schrödinger,”Discussion of probability relation between separated systems”, Proc. Cambridge Phil. Soc., vol.31 (1935) 555. Kot został umieszczony w stalowej puszce razem z diabolicznym urządzeniem. W umieszczonym w środku liczniku Geigera jest mała ilość radioaktywnych atomów. Istnieje szansa, że jeden z nich się rozpadnie, ale też może nic się nie zdarzyć w ciągu godziny. Jeśli się to stanie licznik Geigera uwalnia młotek, który rozbija mały pojemnik z kwasem hydrocynamonowym, który natychmiast truje kota. Jeśli zamkniętą puszkę pozostawimy nie tkniętą przez godzinę, możemy powiedzieć, że kot jest żywy gdy atom się nie rozpadł, ale już rozpad pierwszego atomu go zabija. Funkcja ψ - układu powinna to wyrażać, tzn. kot powinien być w równej części żywy i martwy.” W współczesnym języku mechaniki kwantowej oznacza to: Z drugim problemem spotkamy się przy okazji zjawiska pomiaru. Animacja zaczerpnięta ze strony: file:///Users/fizyka/Desktop/Kot%20Schrödingera. webarchive Otrzymuję informacje, że jest to zbyt słaby środek aby wyrządzić krzywdę temu biednemu stworzeniu.

11 żywy martwycholernie wściekły Kot Grebo, „Witches Abroad”, Toni Pratchett Artystyczna wizja paradoksu kota Schrödingera/fot. Sienna Morris / Rex Features /East News

12 Jak rozumieć paradoks? Jak wygląda kot w takim stanie? Gdy otworzymy pojemnik to sytuacja będzie prozaiczna, zobaczymy kota żywego lub martwego. W świecie klasycznym nie mamy odpowiednich przykładów, widzimy, że z dwóch wykluczających się możliwości zdarzy się bądź jedna bądź druga, ale nie obydwie naraz. W przypadku cząstki kwantowej wiemy dokładnie co się może zdarzyć, gdy nie mierzymy, przez która szczelinę przechodzi cząstka to musimy uznać, że przechodzi przez dwie szczeliny w tym samym czasie. Paradoks polega wiec na tym, że w świecie klasycznym nikt nigdy nie zaobserwował interferencji dwóch wykluczających się możliwości. O kocie powiedzielibyśmy, że jest żywy lub martwy, a my nie otwierając pojemnika nie wiemy, która z tych możliwości zachodzi. Jest to typowa „klasyczna ignorancja”, która zdarza się także w świecie kwantowym. W takiej sytuacji do opisu wprowadzamy operator statystyczny. Gdy przeprowadzimy wiele doświadczeń, stan zbioru kotów będzie reprezentowany operatorem statystycznym a nie stanem czystym.

13 Nie wszyscy są zafascynowani paradoksem kota Schrödingera. Z prostego powodu bardzo trudno eksperymentalnie wytestować kwantowe zachowanie ciał makroskopowych. Należy wiec przyjąć, że klasyczne obiekty zachowują się zgodnie z regułami fizyki klasycznej nie tylko dlatego, że efekty kwantowe są trudno obserwowalne. Dla obiektów makroskopowych zjawisko superpozycji stanów nie występuje Wtedy natychmiast powstaje pytanie -- Co to jest obiekt makroskopowy? Z drugiej strony są własności makroskopowe, które nie można wyjaśnić nie używając mechaniki kwantowej. Takie własności materii jak nadprzewodnictwo, nadciekłość, kwantowy efekt Halla są przejawem istnienia zjawisk kwantowych. Poza tym obserwuje się kwantowe zachowanie coraz większych obiektów: ---- układy mezoskopowe ---- kondensaty Bosego - Einsteina Emergencja, zjawiska mezoskopowe -> zjawiska występujące w układach o rozmiarach rzędu µm, inne zarówno od obserwowanych w mikroświecie (w układach pojedynczych atomów lub molekuł, opisywanych przez mechanikę kwantową), jak i od występujących w makroświecie (w obiektach składających się z bardzo dużej liczby cząstek, podlegających prawom mechaniki klasycznej).

14 Czyli cały świat jest opisywany regułami Mechaniki Kwantowej, ale z jakiegoś powodu w większości przypadków ciała makroskopowe zachowują się klasycznie. Ale nie zawsze. Są sytuacje gdy widzimy falowe zachowanie dużych obiektów. Nie można więc wykreślić ścisłej linii demarkacyjnej pomiędzy światem kwantowym i klasycznym W. Żurek, Physics Today, October 1991,str.36.

15 Musi więc istnieć czynnik, który powoduje, że układy makroskopowe nie zachowują się kwantowo D E K O H E R E N C J A wynika z Mechaniki Kwantowej i wpływa na każdy układ fizyczny, powstaje w wyniku nieuniknionego oddziaływania każdego układu z jego naturalnym otoczeniem, wyjaśnia dlaczego układ makroskopowy posiada znane cechy klasyczne, żadne dodatkowe założenia klasyczne nie są potrzebne aby zrozumieć klasyczne zachowanie układów, wyjaśnia dlaczego pewne obiekty makroskopowe („cząstki”) są zlokalizowane w przestrzeni, Landau (1927), Mott (1929), Heisenberg (1958) H.D.Zeh,Found.Phys.,1(1970)69

16 Decoherence... is a consequence of quantum theory that affects virtually all physical systems arises from unavoidable interaction of these systems with their natural environment explains why macroscopic systems seem to possess their familiar classical properties No additional classical concepts are required for a consistent quantum description explains why certain microscopic objects ("particles") seem to be localized in space There are no particles explains why microscopic systems are usually found in their energy eigenstates (and therefore seem to jump between them) There are no quantum jumps thus explains why there appeared to be contradictory levels of description in physics (classical and quantum) There is but ONE basic framework for all physical theories: quantum theory explains also how the Schrödinger equation of general relativity (the Wheeler-DeWitt equation) may describe the appearance of time in spite of being time-less There is no time at a fundamental level is a direct consequence of the Schrödinger equation, but has nonetheless been essentially overlooked during the first 50 years of quantum theory Decoherence is the theory of universal entanglement. Generically, it does not describe a distortion of the system by the environment, but rather a disturbance (change of state) of the environment by the system. This may nonetheless affect the system itself because of the fundamental quantum aspect of kinematical nonlocality. The process of decoherenc is based on an arrow of time in the form of a special (ultimately cosmological) initial condition.arrow of time Decoherence can not explain quantum probabilities without (a) introducing a novel definition of observer systems in quantum mechanical terms (this is usually done tacitly in classical terms), and (b) postulating the required probability measure (according to the Hilbert space norm). Dekoherencja według Ericha Josa ze strony http://www.decoherence.de/

17 Zwolennicy dekoherencji uważają, że (o ile nie poczynimy specjalnych zabiegów aby odizolować układ fizyczny od otoczenia) każdy układ makroskopowy będzie opisywany operatorem statystycznym a nie czystym stanem kwantowym. Nie ma więc żadnego paradoksu kota Schrödingera. Główne założenia dekoherencji Elektrony, atomy, itd. ---- mogą być badane w próżni, Koty, piłki do golfa, itp. ---- nie mogą być odizolowane od otoczenia ( trzęsienie ziemi w Chinach działa na kota zamkniętego w pojemniku) Oddziaływanie cząstek układu z ------ cząstkami otoczenia, ------ a także pomiędzy sobą, powoduje, że każdy stan czysty układu przechodzi w operator statystyczny. Pokażemy w jaki sposób powyższe nieustanne oddziaływanie powoduje zamianę stanu czystego w mieszankę statystyczną.

18 Pokażemy to na przykładzie cząstek o spinie 1/2 θ φ Parametryzujemy: Stąd związki odwrotne: Stan własny spinu w kierunku u Najbardziej ogólny stan czysty opisujący spin skierowany w kierunku jakiejś osi x y z

19 Ograniczając się do płaszczyzny (x y) podstawimy: x y z Działko strzela elektronami, wszystkie mają spiny skierowane względem jakiejś osi w płaszczyźnie (x y). Naszym zadaniem jest zalezienia tego kierunku. Urządzenie Sterna – Gerlacha z przypadkowo umieszczonym polem magnetycznym, ale zawsze w płaszczyźnie (x y). Wiązka elektronów jest rozszczepiana na dwa strumienie. Znajdziemy w końcu takie ustawienia pola magnetycznego, że cała wiązka odchyli się w jednym kierunku. To jest właśnie szukany kierunek u. W omawianej sytuacji sukces jest zapewniony, wystarczy tylko próbować. on off Działko może wyrzucać elektrony z ustawionym spinem w kierunku u (pozycja „off” ), lub też ze spinem ustawionym zupełnie przypadkowo (pozycja „on”).

20 Jaki będzie efekt obserwacji, gdy spiny wyrzucane są przez działko z przypadkowo zorientowanym spinem? Jeżeli działko jest w pozycji „on” i przypadkowo wyrzuca spiny nie znajdziemy żadnego ustawienia aparatury Sterna – Gerlacha, tak aby wszystkie spiny elektrony powędrowały jedną trajektorią Zlokalizujmy nasz detektor tak, aby przepuszczał wszystkie elektrony o spinie skierowany wzdłuż osi. Jeżeli działko produkuje elektrony w stanie czystym to prawdopodobieństwo przejścia elektronu przez nasz analizator jest równe: gdzie x y z Otrzymamy więc:

21 Jeżeli jednak spiny są rozłożone w przypadkowy sposób, z tym samym prawdopodobieństwem dla dowolnego kąta φ, obliczane prawdopodobieństwo musimy po tym kącie uśrednić, otrzymamy więc A teraz zobaczmy jakie otrzymamy prawdopodobieństwo gdy układ jest w stanie mieszanym opisanym operatorem statystycznym: Widzimy więc, że układ w stanie czystym z nieokreślonym kątem φ jest równoważny układowi w stanie mieszanym z operatorem statystycznym opisującym niespolaryzowaną wiązkę.

22 Z taką sytuacją spotkamy się gdy początkowe spolaryzowana wiązka elektronów będzie w kontakcie z otoczeniem. Każda cząstka „otoczenia” posiada moment magnetyczny i wytwarza małe pole magnetyczne. Nasze elektrony oddziałują z przypadkowym polem magnetycznym Superpozycja stanów z przypadkowo fluktuującymi współczynnikami jest równoważna mieszaninie stanów Każdy stan czysty zmienia się w czasie A to powoduje, że stan elektronu ze spinem początkowo skierowanym wzdłuż osi x po czasie t ma postać : Gdzie:,

23 Mamy więc formalnie taki sam stan jak poprzednio gdzie zamiast kąta φ pojawia się faza zależna od czasu Ze względu na to, że zarówno czas trwania oddziaływania ( t ) jak i pole magnetyczne ( ) są przypadkowe, mamy identyczna sytuację jak poprzednio. Wskutek nieuniknionego oddziaływania układu makroskopowego z otoczeniem każdy stan czysty przechodzi w stan mieszany Dekoherencja jest szybkim procesem, np. jeśli masę M przemieścimy w polu grawitacyjnym na odległość H, to zmieni się energia potencjalna: ΔV = M g H gdzie g – przyspieszenie ziemskie Wtedy faza funkcji falowej zmieni się (φ  φ +Δφ) w znaczący sposób po czasie Pokazaliśmy jak pole magnetyczne powoduje dekoherencję, podobne efekty będą powodować także pola elektryczne i grawitacyjne.

24 Dla M = 100 kg, H = otrzymamy: Dekoherencja to bardzo szybki proces Tak wiec: Otoczenie każdego układu fizycznego stale fluktuuje, każdy składnik w superpozycji stanu opisującego nasz układ makroskopowy oddziałuje w różny sposób z otoczeniem, w szczególności ma różną energie oddziaływania, w ten sposób czasowa ewolucja każdego składnika superpozycji stale i nieregularnie fluktuuje, Taka nieregularna fluktuacja faz powoduje, że początkowy stan czysty układu staje się mieszanką statystyczną. Czy możemy utworzyć duży układ zachowujący się kwantowo?  widać, że nie jest to proste, bowiem:

25  w jakiś sposób musimy „obejść”  małą długość fali de Broglie’a,  spowodować, że zasada Heisenberga będzie mięć znaczenie,  efekt tunelowy stanie się ważny.  aby się ustrzec dekoherencji układ musi być bardzo dokładnie izolowany, od  wzajemnego oddziaływania cząstek w układzie,  „reszty świata”.  taki układ nie może być zwykłym układem makroskopowym np. KOTEM, Zachowanie kwantowe „widzimy” w wielu makroskopowych sytuacjach istnienie atomów własności materii, nadprzewodnictwo, nadciekłość, kwantowy efekt Halla Pomimo tego obecne eksperymenty mogą takie układy realizować.

26 Nam jednak chodzi o makroskopowy układ będący wstanie czystym. Trzy warunki istnienia takich układów:  Do opisu układu musimy używać zmiennych makroskopowych dobrze oddzielonych od mikroskopowych stopni swobody,  Temperatura układu musi być mała,  Zachowanie makroskopowych zmiennych musi być kontrolowane przez mikroskopową energię. A.J.Leggett przewidział dwie klasy możliwych doswiadczeń: A.J.Leggett, „Schrödinger’s cut and her laboratory cousins”, Contenporary Physics,25(1984)583. Makroskopowe kwantowe tunelowanie (MQT) Makroskopowa kwantowa koherencja (MQC)

27 Lucia HackermuellerLucia Hackermueller, Klaus Hornberger, Bjoern Brezger, Anton Zeilinger, Markus ArndtKlaus HornbergerBjoern BrezgerAnton Zeilinger Markus Arndt Nature 427, 711-714 (2004) “Decoherence by the emission of thermal radiation” W eksperymencie badano dyfrakcje fulerenu C 70. Wiązka fulerenów była podgrzewana laserem. Ze wzrostem temperatury zanikał obraz interferencyjny.

28 The story about the thermal death of Schrödinger's cat.. Introduction Why is our daily world described by classical physics? Why is quantum mechanics usually limited to the world of photons and small particles? One answer to these questions is decoherence - processes that limit the observability of quantum effects and turn them into classical phenomena. To be able to predict under which circumstances a system will behave according to quantum mechanics we have to study possible processes of decoherence. For macroscopic particles there are two main 'natural' ways of decoherence: On the one hand collisions with other particles (more details), and on the other hand the thermal emission of radiation due to the internal heat of an object. The warm macroscopic bodies in our everyday 'classical' world emit by far too many photons to behave like a quantum object, whereas atoms or molecules can be sufficiently isolated to show their quantum nature. Fullerenes have the interesting feature that they can be turned into a crossborder commuter between the classical and quantum descriptions. When they are relatively cold (900 K) they can show perfect quantum behavior, but they possess already sufficiently many degrees of freedom to store and partially release thermal energy in form of photons. We can control the stored amount of energy in terms of their temperature and thus trace the quantum-to-classical transistion in a controlled and quantitative way.more details http://www.quantum.univie.ac.at/research/matterwave/thermaldeco/index.html

29 Experiment A beam of fullerenes produced in a sublimation source (an oven with a temperature of 660 ° C) shows quantum interference in a nearfield interferometer under high vacuum conditions (more details). In order to gradually increase the internal energy of the molecules we heat them right in front of the interferometer. The heating stage consists of a focussed Ar+laser beam (514 nm, 0-10W) that is folded up to 16 times in front of the first grating. Fullerenes can store 50-100 green photons and convert them into internal heat before they decompose. A certain fraction out of the beam will ionize during this process. We record the number of ions in dependence of the beam velocity and use a theoretical model to determine the temperature of the fullerenes.more details In the heating region the fullerenes are heated to temperatures of up to 5000 K, but due to the rapid radiative cooling even the hottest molecules reach a temperature of about 3000 K when they enter the interferometer. In order to detect the molecules behind the interferometer they pass another Ar+laser beam (488 nm, 15 W) where a large fraction of the beam ionizes and the ions are counted in another channeltron. Since hot molecules are more likely to ionize in the detection stage the mean countrate also increases with heating power.

30