1 LEY GENERALIZADA DE AMPERE
2 Una Identidad importanteEstudiaremos en esta sección la inducción de Campos Magnéticos por Campo Eléctricos Variables en el tiempo. debemos analizar la Ley de Ampère con mucho más cuidado de lo que lo hicimos cuando la enunciamos. Desarrollemos el valor de La rotacional es dada por:
3 Una Identidad importanteDesarrollemos el valor de calculando la divergencia de la rotacional del campo vectorial : desarrollando el miembro derecho encontramos:
4 Una Identidad importanteLa ultima expresión se iguala obviamente a cero En consecuencia hemos demostrado que: LA DIVERGENCIA DE LA ROTACIONAL DE CUALQUIER FUNCION VECTORIAL SIEMPRE ES NULA :
5 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTECuando tenemos una corriente, y conocemos en el espacio el campo de vectores de densidad de corriente, podemos evaluar la corriente que atraviesa cualquier superficie (no sólo la sección transversal de los conductores).
6 SUPERFICIE PLANA PERPENDICULAR AL EJE DEL CONDUCTOR
7 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEtenemos primero una superficie plana perpendicular al eje un conductor "uniforme" con corriente uniformemente distribuida en su sección transversal
8 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTESe observa el campo de vectores de densidad de corriente, ellos están uniformemente distribuidos en la sección transversal del conductor Se representan dos elementos diferenciales de superficie ( en color amarillo) con vector diferencial de superficie .
9 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEEl área de integración es la encerrada por el contorno "C", y es denominada "S". La corriente se encuentra evaluando la integral de superficie siguiente: Sobre la superficie "A" de la sección transversal del conductor, el vector de densidad de corriente existe y tiene el valor diferencial de superficie paralela a ese vector
10 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEEn la región " S' ", el vector de densidad de corriente no existe La integración sobre la Superficie " S' " es nula quedando la integración sobre la superfice "S" con el valor: la corriente es simplemente dada por: donde "j" es la magnitud uniforme del vector de densidad de corriente.
11 Superficie de integración: plano oblicuo a la sección transversal del conductor
12 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE
13 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEÁrea "A" dentro del conductor, con vector de densidad de corriente formando ángulo "q" con esa superficie. Área " S' " fuera del conductor, con vector de densidad de corriente nulo. Área de la sección transversal " A' " es dada en función del área "A" de integración como: La integración del campo vectorial de densidad de corriente se efectúa sobre la superficie S = S' + A:
14 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEcomo forman el ángulo , dentro de la región de integración al interior del conductor, tenemos: de donde la corriente es dada por la expresión: la corriente resulta igual al producto de la magnitud de la densidad de corriente uniforme multiplicada por el área de sección transversal
15 superficie de integración no plana
16 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE
17 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEHay una superficie A dentro del conductor, una S' fuera del mismo y la unión de ellas forma la superficie S de integración. La dificultad en este tipo de superficies será la integración, la integral será sin embargo: la integral sobre S' es nula, y la integral sobre A es el producto del área de la sección transversal multiplicada por la magnitud del vector de densidad de corriente
18 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTELa situación se complica cuando la distribución de densidad de corriente no es uniforme, pero de todas maneras, la integral sobre la superficie S, seguirá siendo idéntica a la corriente que atraviesa esa superficie.
19 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEAhora supondremos que tenemos una superficie "S" cualquiera en el espacio En el espacio se encuentra un campo de vectores de densidad de corriente la integral da la corriente que entra o sale de la superficie "S" dependiendo que la integral tenga valor positivo o negativo.
20 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTELa figura presenta un campo de densidad de corriente "saliendo" de una superficie Se representan las isolíneas de la superficie y los vectores “diferencial de superficie”. están indicados los ángulos entre densidad de corriente y los de elementos de superficie.
21 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEEl ángulo máximo entre los vectores es de 90°, el más pequeño de 0° Siempre el producto escalar será positivo La adisión (integración) de todos los productos escalares involucrados es siempre positiva La integral de flujo del vector de densidad de corriente es positiva cuando la corriente “sale” de una superficie
22 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEsimbólicamente tenemos: Investiguemos cuando la corriente "entra" a través de la superficie el más pequeño ángulo formado con la superficie es de 90°, mientras el máximo es 180° producto escalar negativo la integral de flujo del vector densidad de corriente, negativa. la integral de flujo del vector densidad de corriente cuando la corriente entra en una superficie es negativa
23 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEsimbólicamente tenemos: ¿Qué significa calcular la integral de flujo del vector densidad de corriente para una superficie gaussiana cerrada? La Superficie se divide en dos partes S1 y S2 por la primera, la corriente entra, por la segunda sale.
24 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTELas integrales de flujo respectivas son negativa para la superficie donde la corriente entra y positiva para la superficie en que la corriente sale. la integral de flujo neta, puede tener valores positivos, negativos o cero
25 ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTEEn el caso en que la integral de flujo sobre la superficie Gaussiana resultara: Negativa, quiere decir que está entrando más corriente que la que sale. Positiva, quiere decir que está saliendo más corriente que la que entra. Cero, quiere decir que la corriente que entra es idéntica a la que sale.
26 FLUJOS ESTACIONARIOS DE CORRIENTE ELECTRICAAplicación del teorema Gauss Ostrogradsky A la integral de Flujo del vector de densidad de corriente
27 CONSECUENCIAS La aplicación del teorema Gauss Ostrogradsky da:Cuando la integral de flujo sobre una superficie Gaussiana "S" es nula, el integrando de la integral de volumen sobre la superficie gaussiana, es nulo Eso significa que la corriente que entra es idéntica a la que sale Eso significa que la corriente pasa por esa superficie sin alteración.
28 Comparación del desplazamiento de cargas eléctricas en el espacio con el flujo de masa en los fluidos
29 Analogías En el caso de mecánica de fluidos, se habla de un flujo de masa, en Electromagnetismo se habla de un flujo de cargas En un flujo estacionario de masa, la cantidad de masa que entra a una superficie cerrada es idéntica a la masa que sale Se habla de UN FLUJO ESTACIONARIO DE FLUIDO en el caso eléctrico, cuando la carga que entra es la misma que sale, el EL FLUJO DE CARGAS ELECTRICAS ES ESTACIONARIO En mecánica de fluidos, la condición de “Flujo Estacionario” se determina por el vector de flujo de masa mediante
30 Analogías Cuando vale cero, se dice que el FLUJO ESTACIONARIOCumpliéndose la condición bien conocida: El análisis dimensional de la cantidad da: La misma operación sobre el vector da: las unidades son las mismas excepto por el cambio de masa por carga eléctrica
31 Analogías Por esa razón cuando se cumple queel flujo eléctrico es estacionario Si en una cierta región muy pequeña (diferencial volumétrica), se tiene que en esa región no se crea ni se destruye carga eléctrica, o también, en esa región ni se concentra ni se diluye la carga Cuando la integral de flujo de la densidad de corriente no es nula, la divergencia del vector de densidad de corriente tampoco lo es. Cuando el flujo del vector de densidad de corriente en una superficie gaussiana no es cero, dentro de esa superficie existirá por principio de conservación de la carga eléctrica, una acumulación de cargas eléctricas o una dilución de ellas,
32 Analogías Cuando la integral de flujo del vector densidad de corriente no es nula, el flujo es no estacionario y podemos escribir:
33 ANALISIS DE LA LEY DE AMPERE
34 Ley de Ampère Cuando las corrientes que se estudian en la aplicación de la Ley de Ampère tienen la propiedad de ser Corrientes Estacionarias, La ley es completamente válida. Es decir, es completamente cierto que en forma integral: O en forma diferencial: Donde se ha aplicado el Teorema Vectorial
35 Ley de Ampère Apliquemos el operador nabla por medio del producto escalar a los dos miembros de la expresión anterior Esa expresión es una igualdad, para ser válida, debe convertirse en una identidad al sustituirse en ella igualdades válidas Si suponemos físicamente que estamos tratando con corrientes estacionarias Esta igualdad podemos sustituirla en la expresión obteniendo nosotros:
36 Ley de Ampère Como hemos demostrado queObtenemos para el campo magnético: Llegando a la igualdad La cual es absolutamente cierta, verificándose la validez de la Ley de Ampère para corrientes estacionarias
37 Ley de Ampère ¡ALGO FALTA!
38 CORRIENTES NO ESTACIONARIASsi tratamos con corrientes no estacionarias, se cumple evidentemente que: De nueva cuenta calculamos la divergencia de la rotacional del campo magnético: Como las corrientes son no estacionarias: por lo tanto tenemos una igualación isostenible:
39 CORRIENTES NO ESTACIONARIASLo que evidencía que la Ley de Ampère como la tenemos establecida no es cierta para corrientes no estacionarias Que nos indica que la suposición de que se cumple la Ley de Ampère tal como la conocemos hasta el momento, es totalmente falsa, o bien en la expresión de la Ley de Ampère hacen falta términos que la conviertan en cierta.
40 Ecuación de Continuidad del Flujo de Cargas Eléctricas
41 Ecuación de ContinuidadPara continuar buscando la verdadera Ley de Ampère que se cumple en todos los casos de régimen de flujo de cargas, debemos antes deducir la Ecuación de Continuidad de Flujo de Cargas Eléctricas. Esa ecuación es deducible del análisis que realizamos sobre el flujo del vector de densidad de corriente, y del análisis de las cargas que se acumulan o diluyen dentro de la superficie gaussiana .
42 Ecuación de ContinuidadEn el interior de la Superficie gaussiana que vemos en la figura adyacente, hay un volumen encerrado que podemos denominar "V", mientras que a la superficie gaussiana la denominamos "S".
43 Ecuación de ContinuidadEn cada punto del espacio, la densidad volumétrica de carga es dada por la función escalar que depende de la posición y del tiempo: la carga dentro de la superficie gaussiana en un cierto instante de tiempo es dada por: Conforme pasa el tiempo, la carga Q dentro de la superficie gaussiana puede variar, en ese caso, puede evaluarse la rapidez de variación de Q con respecto al tiempo:
44 Ecuación de Continuidadque es dada en términos de la integral por: Esta rapidez de variación si es positiva, representa un aumento en la carga al interior de la superficie gaussiana, mientras que si ella es negativa, representa una disminución de la carga. Por ello podemos escribir: aumento de carga en el volumen si disminución de carga en el volumen. la integral de flujo del vector de densidad de corriente cumple:
45 Ecuación de Continuidadsi la corriente que sale es mayor que la que entra, o sea que la carga se está deconcentrando (disminuyendo) dentro del volumen. si la corriente que entra es mayor que la que sale, o sea que se está concentrando (aumentando) la carga dentro de la superficie gaussiana. La integral y la derivada parcial tienen las mismas unidades
46 Ecuación de ContinuidadTenemos que las variaciones de carga dentro del volumen encerrado por la superficie gaussiana están relacionadas a: Cuando la carga aumenta Cuando la carga disminuye en consecuencia, debemos tener la siguiente igualdad:
47 Ecuación de ContinuidadAplicando el Teorema de Gauss-Ostrogradsky, nos encontramos que de tal manera que la relación de la variación de cargas en el volumen puede escribirse como: De ahí desprendemos la relación integral:
48 Ecuación de Continuidadcomo el volumen de integración es el mismo, podemos igualar los integrandos obteniéndose: Que es la ECUACION DE CONTINUIDAD del Flujo de cargas eléctricas. Es mejor conocida en la forma siguiente: ella tiene como análogo la Ecuación de Continuidad en los fluidos dada por:
49 Ecuación de ContinuidadCuando el flujo de cargas es estacionario se cumple que en el volumen dentro de la superficie gaussiana no acumula cargas eléctricas ni se diluyen las mismas, entonces: y sustituyendo este resultado en la ecuación de continuidad tenemos ahora: de donde se tiene como resultado la condición para un flujo estacionario:
50 Ecuación de ContinuidadCuando el flujo no es estacionario, se tiene que la rapidez de variación de la densidad de carga en el volumen no es nula, es decir: sustituyendo esto en la ecuación de continuidad, tenemos: expresión que nos permite escribir la condición para un flujo no estacionario:
51 Ecuación de ContinuidadEn esta parte debemos efectuar un análisis de la Ley de Gauss en forma diferencial y correlacionarla con la ecuación de continuidad, para más tarde demostrar que la Ley de Ampère puede perfeccionarse para que cumpla la condición de nulidad de su miembro derecho, lo que nos conducirá a un fenómeno muy interesante para el electromagnetismo.
52 Ecuación de Continuidad y Ley de GaussLa ley de Gauss en forma diferencial sabemos que es: Nuestra meta al analizar la Ley de Gauss es buscar expresiones matemáticas que se asocien al fenómeno de flujo no estacionario en el espacio. Por tal razón estaremos interesados ahora en el análisis de las condiciones de NO ESTACIONARIDAD del flujo.
53 UN ANALISIS DE FLUJOS ELECTRICOS NO ESTACIONARIOS
54 Flujos No EstacionariosSi el flujo no es estacionario, entonces la derivada parcial temporal de la densidad de carga es diferente de cero, es decir: por esta razón, debemos buscar la derivada parcial respecto al tiempo de ambos miembros de la expresión siguiente: que nos arroja el resultado:
55 Flujos No EstacionariosEsta última ecuación puede escribirse por intercambio de la derivada temporal como: Facilmente obtenemos: Esta forma nueva de la Ley de Gauss nos será útil para sustituirla en la ecuación de continuidad:
56 Flujos No Estacionariosobteniendo: de donde se obtiene al aplicar el teorema de calculo vectorial que dice: "la divergencia de la suma es igual a la suma de las divergencias", la siguiente expresión: De esta relación obtenemos un resultado sobresaliente que nos será útil para reformular la Ley de Ampère
57 LEY GENERAL DE AMPERE
58 Ley General de Ampère Esta expresión nos indica que: la divergencia de la suma del vector de densidad de corriente mas la permitividad multiplicada por la rapidez de variación del vector de intensidad de campo eléctrico con respecto al tiempo es siempre cero.
59 Ley General de Ampère Estamos en posición de encontrar la estructura matemática del término faltante a la Ley de Ampère para aplicarla al caso de flujo no estacionario: Si proponemos que la Ley de Ampère sea modificada a la forma: entonces al aplicar el operador nabla para calcular la divergencia de ambos miembros tenemos:
60 Ley General de Ampère hemos demostrado quey que siempre para cualquier campo vectorial: En virtud de estas dos últimas identidades, su sustitución en la nueva Ley de Ampère propuesta se cumple: que es una identidad y permite asegurar que la corrección sugerida, convierte en correcta a la Ley de Ampère para el caso de corrientes NO ESTACIONARIAS.
61 Ley General de Ampère La Ley general de Ampère queda entonces bajo la forma: Hemos llegado al punto culminante del electromagnetismo:
62 Ley General de Ampère Los campos magnéticos son generados por imanes (cargas magnéticas permanentes) o por corrientes, pero también por campos eléctricos variables en el tiempo (caso de la Ley generalizada de Ampère).