1

2

3 Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0,1,2,3,..., 127,... Liczby naturalne poznaliśmy już wcześniej; służą one do liczenia przedmiotów. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N, tzn. yv= {o, 1,2,3,...}. W zbiorze N istnieje liczba najmniejsza. Jest to liczba 0. Jeżeli do tej liczby najmniejszej dodamy 1, to otrzymamy następną liczbę 1. Jeśli do tej liczby dodamy 1, to otrzymamy następną liczbę 2. Możemy dodać liczbę 1 do dowolnej liczby n e Ni otrzymamy następną liczbę n + 1. Ten sposób postępowania pozwala na utworzenie całego zbioru liczb naturalnych. Zauważmy jednak, że nie ma w zbiorze /V liczby najwięk­szej, bo jeśli n e N, to również n + 1 e N. Na liczbach tych można wykonywać pewne działania. N= {0, 1, 2, 3, 4,...,n – 1, n, n+1,...}

4 Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C, a więc: C= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}. Gdy zaznaczymy liczby naturalne na osi liczbowej, to punkty od­powiadające tym liczbom leżą na prawo od punktu 0, odpowiadającego liczbie 0 w równych odległościach. Punkty leżące na lewo od punktu 0 odpowiadają liczbom ujemnym. Pary liczb —1 i 1, 2 i —2, —5 i 5, 6 i —6 są przykładami par liczb przeciwnych. Liczbą przeciwną do danej liczby a jest liczba —a. Na przykład liczbą przeciwną do 10 jest liczba —10, a liczbą przeciwną do —5 jest -(-5) = 5. Z= {..., -n – 1, -n, -n+1,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,n – 1,n,n+1,...}

5 –Dodawanie jest najbardziej podstawowym działaniem matematycznym obecnym niemal we wszystkich dziedzinach matematyki. Obiekty dodawane to składniki, wynik nazywa się sumą. Oznaczane jest zwyczajowo plusem (+). Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb, wielomianów czy figur. Gdy rozważa się struktury algebraiczne to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym tylko pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego. –Odejmowanie to pewna operacja na dwóch obiektach, która zwraca ich różnicę. Obiektami tymi mogą być liczby, ale też wektory, macierze i inne twory matematyczne. Odejmowanie oznacza się znakiem -. –Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n > 1 nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a –Dzielenie to w matematyce operacja zdefiniowana w dowolnym ciele jako:, dla gdzie to element odwrotny do b. W działaniu tym występują dwa operandy nazywające się dzielną i dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywany jest ilorazem. Do zapisu operacji dzielenia używa się alternatywnie symboli '÷', '/'. –Mnożenie jedno z działań w którym mnożymy przez siebie dwie liczby. Oznacza się na ogół symbolem "·" (kropka): 2 · 2 = 4, czasami w miejsce kropki używa się znaku "×": 3×4 = 12, a w zapisach związanych z informatyką przyjęło się używanie symbolu "*" (gwiazdka): a:=b*c.

6 Ponieważ poznaliśmy już podstawowe działania możemy przypomnieć sobie ich kolejność. Otóż kolejność wykonywania działań jest następująca: 1.potęgowanie lub pierwiastkowanie 2.mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności) 3.dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna) Jeżeli w działaniu występuje tylko dodawanie i odejmowanie, działania wykonujemy od strony lewej do prawej. 28-15+87=13+87=100 Jeżeli w działaniu występuje dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, najpierw wykonujemy mnożenie, potem dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie. 45-10+64:4=45-10+16=35+16=51

7 Liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę (b nazywamy dzielnikiem liczby a) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba, że. Dowolna liczba całkowita jest podzielna : - przez 2 cyfra jej jedności jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, - przez 3 suma jej cyfr jest podzielna przez 3, - przez 4 liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr danej liczby jest podzielna przez 4, - przez 5 cyfra jedności jest równa 0 lub 5, - przez 6 jest podzielna przez 2 i 3, - przez 8 liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr danej liczby jest podzielna przez 8, - przez 9 suma jej cyfr jest podzielna przez 9,

8 –Podczas mnożenia (dzielenia) potęg o tym samym wykładniku podstawy mnożymy (dzielimy), a wykładnik pozostaje ten sam: –Podczas mnożenia (dzielenia) potęg o tej samej podstawie, podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki dodajemy (odejmujemy). Wykres funkcji potęgowej

9 –Liczby naturalne i całkowite odgrywają ważną rolę w życiu człowieka. Dzięki liczbom są zapisywane np.. nr na pieniądzach albo w komputerach możemy zapisywać różne kwoty jakie wydaliśmy. W matematyce liczby są jedną z ważniejszych części do opanowania. Kto nie zna liczb nie będzie nic umiał. Dlatego liczby odgrywają bardzo ważną rolę w życiu człowieka.

10 Autorem tej prezentacji pod tytułem „Liczby naturalne i całkowite” jest Linkiewicz Przemysław. Uczeń III klasy Publicznego Gimnazjum nr.1 im. Krzysztofa Kamila Baczyńskiego w Wisznicach.