1

2 Liczby całkowite Definicja Działania na liczbach całkowitych Cechy podzielności Potęga

3 Liczby naturalne Definicja Działania w obrębie zbioru liczb naturalnych Kolejność wykonywania działań Najmniejsza wspólna wielokrotność Największy wspólny dzielnik Liczby pierwsze

4 Cechy podzielności Cecha podzielności przez 2 Cecha podzielności przez 4 Cecha podzielności przez 5 Cecha podzielności przez 3 (9) Cecha podzielności przez 10

5 Cecha podzielności przez 2 Przez 2 są podzielne liczby, które mają w rzędzie jedności 0, 2, 4, 6 lub 8 (liczby parzyste)

6 Cecha podzielności przez 4 Przez 4 są podzielne liczby, w których liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr jest podzielna przez 4

7 Cecha podzielności przez 5 Przez 5 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfrę 0 lub 5

8 Cecha podzielności przez 3 (9) Przez 3 (9) są podzielne liczby, których suma cyfr dzieli się przez 3 (9)

9 Cecha podzielności przez 10 Przez 10 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfrę 0

10 Oto sposób mnożenia "na palcach" liczb większych od 5. Chcąc skorzystać z tej metody, musisz dobrze już mnożyć do 25. Rysunek przedstawia postępowanie przy mnożeniu (7×8): Na lewej dłoni wyprostowane są dwa palce, a trzy pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. 7 = 5 + 2 (2 palce wyprostowane - dłoń lewa) 8 = 5 + 3 (3 palce wyprostowane - dłoń prawa) Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, dodajemy iloczyn palców zgiętych, tzn.: (2 + 3)×10 +3×2 = 50 + 6 = 56 Kolejny przykład (6×8): Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden palec, a cztery pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. 6 = 5 + 1 (1 palec - dłoń lewa) 8 = 5 + 3 (3 palce - dłoń prawa). Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: (1 + 3)×10 + 4×2 = 40 + 8 = 48.

11 Działania na liczbach naturalnych i całkowitych Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie

12 Kolejność wykonywania działań Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. 34+(65+16)-35=34+81-35=115-35=80 Jeżeli w działaniu występuje tylko dodawanie i odejmowanie, działania wykonujemy od strony lewej do prawej. 28-15+87=13+87=100 Jeżeli w działaniu występuje dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, najpierw wykonujemy mnożenie, potem dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie. 45-10+64:4=45-10+16=35+16=51

13 Dodawanie Dodawanie jest najbardziej podstawowym działaniem matematycznym obecnym niemal we wszystkich dziedzinach matematyki. Obiekty dodawane to składniki, wynik nazywa się sumą. Oznaczane jest zwyczajowo plusem (+). Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb, wielomianów czy figur. Gdy rozważa się struktury algebraiczne (pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe) to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym tylko pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego.

14 Odejmowanie Odejmowanie to pewna operacja (mówiąc bardziej formalnie, funkcja dwuargumentowa) na dwóch obiektach, która zwraca ich różnicę. Obiektami tymi mogą być liczby, ale też wektory, macierze i inne twory matematyczne.liczby Odejmowanie oznacza się znakiem -, na przykład: 3 − 2 = 1 Co czyta się: "trzy minus dwa równa się jeden" albo "trzy odjąć dwa równa się jeden". Odejmowane liczby to odjemna i odjemnik, wynik to różnica.

15 Dzielenie Dzielenie to w matematyce operacja zdefiniowana w dowolnym ciele jako:, dla b ≠ 0 gdzie to element odwrotny do b. W działaniu tym występują dwa operandy nazywające się dzielną i dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywany jest ilorazem. Do zapisu operacji dzielenia używa się alternatywnie symboli ‘:', '/'.

16 Mnożenie Mnożenie – jedno z działań w strukturach algebraicznych takich jak pierścień czy ciało, a także między elementami ciała i przestrzeni liniowej nad tym ciałem We wspomnianych wyżej strukturach algebraicznych mnożenie spełnia aksjomaty przemienności, łączności a także rozdzielności względem dodawania. Mnożenie oznacza się na ogół symbolem "·" (kropka): 2 · 2 = 4, czasami w miejsce kropki używa się znaku "×": 3×4 = 12, a w zapisach związanych z informatyką przyjęło się używanie symbolu "*" (gwiazdka): a:=b*c. Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w ogóle się pomija, pisząc w miejsce a ·b po prostu ab. Iloczyn wielu czynników często zapisuje się korzystając z uproszczonej notacji: zamiast a1 · a2 · a3 ·... · an używamy symbolu ∏ (duża grecka litera "pi") i piszemy

17 Liczby całkowite - definicja Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera. Mówiąc prosto jest to zbiór składający się z zera oraz wszystkich elementów ciągów (1, 2, 3, 4...) oraz (-1, -2, -3, -4,...).

18 Liczby naturalne - definicja Liczby naturalne – liczby używane powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć jakie wytworzyła ludzkość, wydaje się jednak, że niewiedza na temat czym liczby są nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Zazwyczaj mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby 1, 2, 3, 4..., czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną. Tak robi się na przykład w informatyce i teorii mnogości.

19 Ciekawostka - potęgi Oto prosty sposób na podnoszenie do kwadratu liczb, które kończą się cyfrą 5, Np. 35, 65, 95 itp. Otóż aby uzyskać wynik, należy cyfrę (liczbę) poprzedzającą cyfrę 5 pomnożyć przez kolejną liczbę naturalną i do tego wyniku dopisać na końcu 25, Np.: 25 x 25 2 x 3 = 6; do 6 dopisujemy 25 i otrzymujemy 625, 75 x 75 7 x 8 = 56; do 56 dopisujemy 25, w ten sposób otrzymujemy 5625, 105 x 105 10 x 11 = 110; do 110 dopisujemy 25 i otrzymujemy 11025. Przy potęgowaniu liczb bliskich liczbom okrągłym można natomiast wykorzystać taką oto metodę (wykorzystującą wzór na różnicę kwadratów): 96 x 96 = (96 + 4) x (96 – 4) + 4 x 4 = 100 x 92 + 16 = 9216, 998 x 998 = (998 + 2) x (998 – 2) + 2 x 2 = 1000 x 996 + 4 = 996004.

20 Potęgowanie Potęga Ciekawostka

21 Potęga - definicja Potęga, potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako an co oznacza n- krotne mnożenie a przez siebie, przy czym a nazywamy podstawą potęgi a n wykładnikiem potęgi. Na przykład podstawą potęgi w tym przykładzie jest liczba 3 a wykładnikiem liczba 4. Zapis an czytamy a podniesione do potęgi n lub krótko a do potęgi n.

22 Liczby pierwsze - definicja Liczby pierwsze to te liczby naturalne większe od 1, które mają tylko dwa dzielniki naturalne – jedynkę i samą siebie. Liczbę naturalną, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną. 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną.

23 Największy wspólny dzielnik Największym wspólnym dzielnikiem dwóch lub więcej liczb naturalnych dodatnich a1, a2,..., an nazywamy największą liczbę naturalną, która jest jednocześnie dzielnikiem każdej z liczb a1,... an. Największy wspólny dzielnik oznacza się często symbolem NWD(a1...an), a w literaturze angielskiej GCD (z ang. greatest common divisor)..

24 Najmniejsza wspólna wielokrotność Najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch lub więcej liczb naturalnych dodatnich a1, a2,...,an nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, której dzielnikiem jest każda z liczb a1...an. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1...an).

25 Autorzy powyższej prezentacji: -Tobiasz Krzysztof -Górski Robert -Florek Adrian -Tyrkiel Piotr

26 Mnożenie Definicja Ciekawostka