1 LICZBY NATURALNE I CAŁKOWITE

2

3 Liczby Naturalne Liczby naturalne – liczby używane powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbadziej abstakcyjnych pojęć jakie wytworzyła ludzkość, wydaje się jednak, że niewiedza na temat czym liczby są nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać...

4 ... Badaniem własności liczb naturalnych zajmuje się teoria liczb, badaniem problemów związanych z liczeniem – kombinatoryka. Zazwyczaj mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby 1, 2, 3, 4..., czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną.

5 Liczby całkowite Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera. Mówiąc prosto jest to zbiór składający się z zera oraz wszystkich elementów ciągów (1, 2, 3, 4...) oraz (-1, -2, -3, -4,...).

6 Liczby naturalne zawierają się w liczbach całkowitych. Oto przykład: Z czego można wywnioskować, że zbiór licz całkowitych jest obszerniejszy niż zbiór licz naturalnych.

7 Dodawanie Dodawanie jest najbardziej podstawowym działaniem matematycznym obecnym niemal we wszystkich dziedzinach matematyki. Obiekty dodawane to składniki, wynik nazywa się sumą. Oznaczane jest zwyczajowo plusem (+). Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb, wielomianów czy figur. Gdy rozważa się struktury algebraiczne to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym tylko pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego.

8 Odejmowanie Odejmowanie, jedno z działań arytmetycznych, odwrotne względem dodawanie. Wynik odejmowania liczby b (odjemnika) od a (odjemnej) nazywany jest różnicą a i b, co zapisuje się jako c=a-b=a+(-b).

9 Mnożenie Mnożenie – jedno z działań w strukturach algebraicznych takich jak pierścień czy ciało, a także między elementami ciała i przestrzeni liniowej nad tym ciałem. Mnożenie oznacza się na ogół symbolem "·" (kropka): 2·2=4, czasami w miejsce kropki używa się znaku "×": 3×4 = 12, a w zapisach związanych z informatyką przyjęło się używanie symbolu "*" (gwiazdka): a:=b*c. Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w ogóle się pomija, pisząc w miejsce a·b po prostu ab.

10 Dzielenie Dzielenie, jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, odwrotność mnożenie. Podzielenie a przez b (a: b lub a/b), to znalezienie takiej liczby x, że x · b = a. Liczbę a nazywamy dzielną, b - dzielnikiem a x - ilorazem. Dzielenie jest określone dla wszystkich liczb rzeczywistych bez b=0. Przykład zapisu działania:

11 Kolejność wykonywania działań Kolejność wykonywania działań arytmetycznych - podczas działań arytmetycznych musimy pamiętać o prawidłowej kolejności ich wykonywania. Zaczynamy wykonując obliczenia od działań w takich nawiasach, które nie zawierają innych nawiasów. Potęgowanie lub pierwiastkowanie wykonywane jest przed mnożeniem i dzieleniem. Mnożenie i dzielenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem.

12 Potęga, jedno z działań matematycznych, iloczyn n jednakowych czynników a, symbolicznie zapisywany jako: an gdzie: a - podstawa potęgi, n - wykładnik potęgi. Pojęcie potęgi uogólniono na przypadki wykładnika rzeczywistego. Ujemne wykładniki oznaczają odwrotność liczby: a -n = 1/a n, ułamkowe oznaczają działania będące w ogólności złożeniem pierwiastkowania i potęgowania. Potęgi

13 Potęga, potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako a n co oznacza n -krotne mnożenie a przez siebie, przy czym a nazywamy podstawą potęgi a n wykładnikiem potęgi. Zapis a n czytamy a podniesione do potęgi n lub krótko a do potęgi n. Dzięki potęgom możemy te same działanie zapisać krótszym wyrażeniem np. 2*2*2*2=2 4 Rozpis potegi:

14 Początkowo potęga zdefiniowana była tylko dla wykładników będących liczbami naturalnymi, stopniowo jednak rozszerzono definicję tak, by obejmowała także liczby ujemne, wymierne, rzeczywiste i zespolone. Drugą potęgę nazywa się kwadratem, trzecią sześcianem, czwartą czasami bikwadratem. Określenia te zwykle stosuje się do liczb.

15 Największy Wspólny Dzielnik Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych m, n (oznaczamy go N WI) jest to największy ze wszystkich wspólnych dzielników tych liczb. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb naturalnych m, n (oznaczamy ją NWW(m,«)) jest to najmniejsza ze wspólnych wielokrotności tych liczb.

16 Wielokrotność Wielokrotność, liczba będąca iloczynem danej liczby i pewnej liczby naturalnej – np. 8, 12, 16, 24 to wielokrotności liczby 4. Definiuje się tzw. wspólną wielokrotność dwu lub więcej liczb: jest to taka liczba, która stanowi wielokrotność każdej z danych liczb – np. 42 to wspólna wielokrotność 2, 3, 6, 7, 21. Najmniejsza wspólna wielokrotność danych liczb to taka ich wielokrotność, która dzieli każdą wspólną wielokrotność tych liczb – np. 12 to najmniejsza wspólna wielokrotność 6 i 4.

17 Cechy podzielności Cechy podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8. Przykłady: 24, 506, 1002, 99990 Cechy podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3.

18 Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.. Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0 lub 5.. Liczba jest podzielna przez 6, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 3 Aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 7, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez siedem to i liczba jest podzielna przez 7. Liczba jest podzielna przez 8, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 4

19 Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Liczba jest podzielna przez 10, gdy równocześnie dzieli się przez 2 i przez 5 Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych (licząc od prawej) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11 to i badana liczba jest podzielna przez 11. Aby dowiedzieć się czy dana liczba dzieli się przez 13, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną, jeśli ta różnica dzieli się przez 13 to i liczba jest podzielna przez 13.

20 Liczby w życiu codziennym Liczby przydają się np. do sporządzenia ankiet, rachunków, kodów bezpieczeństwa itp. Zamieściliśmy kilka przykładów:

21 Ankiety Ankieta dotyczy uczniów pewnej klasy, przedstawia wzrost uczniów.

22 Rachunki Obok przedstawiony jest najprostszy rachunek. Nazwa towaruCena (zł) chleb2,50 masło2,00 mleko1,50 cukier3,00 czekolada3,80 Razem12,80

23 Kody bezpieczeństwa Kody bezpieczeństwa są używane przez wszystkich którzy mają konta w banku, karty kredytowe, komórki czy też inne przedmioty które są dla nas ważne.