1

2 Liczby naturalne i całkowite

3 Spis treści Definicje Działania na liczbach Wielokrotności liczb naturalnych Cechy podzielności Przykłady potęg,potęgi o wykładniku całkowitym,własności potęgowania Liczby naturalne i całkowite w życiu codziennym Ciekawostki Liczby naturalne i całkowite

4 Definicje Zazwyczaj mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby 1, 2, 3, 4..., czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną. Liczby całkowite to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne, np.: -1,-2,-3,1,2,3. Wynik dodawania liczb a, b nazywamy sumą a + b, natomiast liczby, które dodajemy nazywamy składnikami. Wynik mnożenia liczb a, b nazywamy iloczynem a x b, natomiast liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami. Wynik odejmowania liczb a, b nazywamy różnicą a — b, natomiast liczbę a nazywamy odjem na. liczbę zaś b — odjemnikiem. Wynik dzielenia liczb a, b nazywamy ilorazem a : b, natomiast liczbę a nazywamy dzielną, liczbę b — dzielnikiem powrót

5 W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie, mnożenie i odejmowanie. Wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest liczbą całkowitą. Dodawanie liczb całkowitych przypomnimy na poniższych czterech przykładach: 4 + 3 = 7 10 + 3= -7 l0 + (-3) = 7 (-7) + (-3)=-10 Przy odejmowaniu liczb stosuje się następującą regułę: odejmowanie liczb zastępuje się przez dodawanie liczby przeciwnej do odjemnika. Zilustrujemy to kilkoma przykładami: 10-7=10 + (-7) = 3, (—10) —( — 4) 10 + 4= —6, (—10) —7= —10 + ( —7)= —17, 10 —( —6)=10 + 6=16. Mnożenie liczb całkowitych przypomnimy na kilku przykładach: 3-5=15, ( —3)-5= — 15, (-3)-(-5)=15. powrót

6 Jeżeli liczba naturalna m dzieli liczbę naturalną n bez reszty, to liczba m nazywa się dzielnikiem liczby n, a liczba n nazywa się wielokrotnością liczby m. Przykład 1. 32 : 4 = 8 4 jest dzielnikiem liczby 32, 32 jest wielokrotnością liczby 4 25 nie jest wielokrotnością liczby 3 Przykład 2. 25 : 3 = 6 reszta 1 3 nie jest dzielnikiem liczby 25, 25 nie jest wielokrotnością liczby 3 powrót

7 Cecha podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę:0, 2, 4, 6, lub 8. Przykłady:24, 506, 1002, 99 990 Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykłady: 42, 783, 1209 4 + 2 = 6 i 6 = 2 * 3 7 + 8 + 3 = 18 i 18 = 6 * 3 1 + 2 + 0 + 9 = 12 i 12 = 4 * 3 Cecha podzielności przez 4 Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Przykłady: 116, 340, 2036 Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0 lub 5. Przykłady: 30, 785, 1 090 DALEJ powrót

8 Cecha podzielności przez 9 Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykłady: 909, 1125, 38 9 + 0 + 9 = 18 i 18 = 2 * 9 1 + 1 + 2 + 5 = 9 i 9 = 1 * 9 178 3 + 8 + 1 + 7 + 8 = 27 i 27 = 3 * 9 Cecha podzielności przez 10 Liczba jest podzielna przez 10 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0. Przykłady: 120, 3 090, 47 800 Cecha podzielności przez 25 Liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami. Przykłady: 1300, 250, 975, 67 025 Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w rzędzie jedności ma cyfrę 0 lub 5. Przykłady: 30, 785, 1 090 DALEJ powrót

9 Cecha podzielności przez 100 Liczba jest podzielna przez 100 jeżeli jest zakończona dwoma zerami. Przykłady: 1400, 79 900, 200 600 Praktyczne wskazówki! Liczba jest podzielna przez: - 6 jeżeli jest podzielna przez 2 i 3 - 12 jeżeli jest podzielna przez 3 i 4 - 15 jeżeli jest podzielna przez 3 i 5 Cecha podzielności przez 5 powrót

10 Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n > 1 nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a, tzn. a" = a- a-a... a Ponadto przyjmujemy d =a. W tej definicji a jest dowolną liczbą, n — liczbą naturalną dodatnią. Liczbę a nazywa się podstawą potęgi, liczbę n — wykładnikiem tej potęgi. Zauważmy, że potęga liczby dodatniej jest liczbą dodatnią. Potęga liczby ujemnej jest dodatnia, gdy wykładnik jest parzysty; potęga liczby ujemnej jest liczbą ujemną, gdy wykładnik jest nieparzysty. powrót

11 Liczby naturalne i całkowite w życiu codziennym Liczb naturalnych używa się powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć jakie wytworzyła ludzkość, wydaje się jednak, że niewiedza na temat czym liczby są nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Liczby całkowite stosuje się najczęściej aby określić ujemną wartość oraz w tych samych sytuacjach co liczby naturalne opisane powyżej.Liczby całkowite znajdują swoje zastosowanie np..: na osi termometru(i innych mierników), na odejmowaniu punktów w różnych sytuacjach, konkursach (-10 pkt), itp... powrót

12 W czasach starożytnych znano lepszą metodę opisaną przez greckiego uczonego Eratostenesa z Cyreny. Podszedł on do rozwiązania od drugiej strony - zamiast sprawdzać podzielność kolejnych liczb naturalnych przez znalezione liczby pierwsze, zaproponował wyrzucanie ze zbioru liczb naturalnych wielokrotności kolejnych liczb, które nie zostały wcześniej wyrzucone. To, co zostanie, będzie zbiorem liczb pierwszych, które nie posiadają innych podzielników jak 1 i same siebie. Metoda ta została nazwana sitem Eratostenesa i jest najszybszą metodą wyszukiwania liczb pierwszych w ograniczonym zbiorze Generacja liczb pierwszych przy pomocy sita Eratostenesa { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 } Oto początkowy zbiór liczb. Najpierw usuniemy z niego liczbę 1 - nie jest to liczba pierwsza, ponieważ nie posiada dokładnie dwóch różnych podzielników. { 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 } Bierzemy pierwszą liczbę 2 i usuwamy ze zbioru wszystkie jej wielokrotności. W ten sposób pozbyliśmy się liczb parzystych. Zauważ iż obliczanie wielokrotności nie wymaga mnożenia - wystarczy dodawać daną liczbę. { 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 } Następną wolną liczbą jest 3. Usuwamy ze zbioru wszystkie wielokrotności liczby 3. Pozostaną więc liczby niepodzielne przez 2 i przez 3. { 2 3 5 7 11 13 17 19 } Wykonane - w zbiorze pozostały same liczby pierwsze. Ciekawostki powrót

13 Kolejność wykonywania działań powrót

14 Mamy nadziej ę, ż e prezentacja si ę podoba ł a Autorzy: Monika Bulanowska, Natalia Wojciechowska

15 KONIEC