1 Liczby zespolone Liczby zespolone – narzędzie (ale tylko narzędzie) wykorzystywane w analizie sygnałów. Mechanika kwantowa – rozwiązanie równania Schroedingera (czyli tzw. funkcja falowa) jest zwykle funkcją zespoloną, dlatego też sens fizyczny przypisywany jest kwadratowi jej modułu (gęstość prawdopodobieństwa) Przykład elektrochemiczny – ANALIZA IMPEDANCYJNA

2 Impedancja Pojęcie uogólniające opór elektryczny:W tym przypadku impedancja ( Z ) równa jest oporowi omowemu czyli rezystancji ( R ). W przypadku kondensatora jest nieco gorzej: Kondensator nie przewodzi prądu stałego, przewodzi jednakże prąd zmienny.

3 Kondensator zasilany napięciem przemiennym stawia opór elektryczny zależny od częstotliwości dodatkowo wprowadzając przesunięcie fazowe między napięciem a prądem. Jeśli U(t) (napięcie) ma postać: to prąd I(t) będzie wynosił: amplituda prądu

4 Wprowadzając nową wielkość (impedancję kondensatora) możemy ominąć zabawę z równaniami jakby nie było różniczkowymi, zastępując je równaniami algebraicznymi to jest właśnie IMPEDANCJA Dla kondensatora impedancja równa jest:

5 operator różniczkowy operator algebraiczny Kondensator jest układem przetwarzającym „wejście” U(t) na „wyjście” I(t). Zwykle łatwiej jest operować na układach opisywanych równaniami algebraicznymi niż różniczkowymi II prawo Ficka łatwiej je rozwiązywać w dziedzinie zespolonej tzw. dziedzinie operatorowej, bo znikają dziwne trójkąty (operatory Laplace’a) i „zagięte pochodne” (pochodne cząstkowe)

6 Liczby zespolone Niekiedy równanie nie posiada rozwiązania w dziedzinie liczb rzeczywistych: wprowadźmy jednak pewną dziwaczną liczbę (liczbę urojoną „i”) dla której: wtedy: i równanie ma (nawet dwa) rozwiązania

7 Liczby zespolone Postać kanoniczna (kartezjańska)i (w elektrotechnice „j”, żeby nie myliło się z prądem) jednostka urojona oś urojona oś rzeczywista

8 Na liczbach zespolonych zdefiniowane są podstawowe działania:

9 Postać trygonometrycznaoś urojona moduł liczby faza oś rzeczywista

10 Postać wykładnicza oś urojona oś rzeczywista

11 Niech |Z|=1 będzie stałą a  będzie zmienną niezależną (0,2) określmy sobie funkcję zespoloną Z=|Z|exp(j ) Im 1 Re

12 Zażądajmy aby nasza funkcja Z() przyjmowała jedynie wartości rzeczywiste (czyli leżące na osi „Re”)Im 1 Re

13 Rozpatrzmy parę wartości funkcji Z():

14 Uzyskane wartości po podzieleniu przez dwa są zatrważająco podobne do wartości funkcji cos():Kto nie wierzy niech zmierzy 

15 Zagadka dla twardzieli:Niech Z() przyjmuje tylko wartości urojone

16 Takie sobie ciekawostki:Niech liczba zespolona: to jest sinus(x)

17 ARTUR ZIELIŃSKI PRZEPRASZA ZA FRYTKĘ

18 W następnym odcinku : próbkowanie sygnałów analogowychautocenzura! autocenzura! featuring Andrzej Lepper