1 Límites de funciones. Continuidad.

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6 Límite de una función en un punto. Límites laterales.Decimos que la función f tiene límite L en x = a, cuando al aproximar x hacia a, f(x) se aproxima hacia L. Simbólicamente se escribe: Ejemplo.- Los límites por la izquierda y por la derecha se denomina límites laterales y se representan simbólicamente por: Ejemplo.- El límite limx  af(x) = L existe si existen a su vez los límites laterales y éstos son iguales, o sea:

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10 s ≤

11 Límites en el infinito. Asíntotas.Si Decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal y = k (recta a la que se aproxima la función en el infinito, pero nunca llega a cortarla) Si Decimos que f(x) tiene una asíntota vertical x = a (recta vertical a la que se aproxima la función, pero nunca llega a cortarla) Ejemplo.- Si como La función f, tiene una asíntota horizontal y = 2 y una asíntota vertical x = 1

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13 2,01 2,001 2,0001 4.41 4.0401

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16 Cálculo de límites en un punto.Limite de funciones continuas.- Para calcular el límite de f basta con sustituir en la función f(x) Ejemplo.- Limite del tipo k/0 (k0).- Se calculan los límites laterales, que serán - y/o +, resultado una asíntota vertical en dicho punto Ejemplo.-

17 Cálculo de límites en un punto.Indeterminación del tipo 0/0 de una función racional .- Hay que estudiar cada caso en particular (en ocasiones simplificando) Ejemplo.- Indeterminación del tipo 0/0 de una función irracional .- Hay que estudiar cada caso en particular (en ocasiones se multiplica por el conjugado) Ejemplo.-

18 Cálculo de límites en el infinito.Limites no indeterminados.- Algunos límites se pueden calcular de manera inmediata Ejemplos ya que en el primer caso es evidente, en el segundo caso, cuando x tiende a infinito -3x+2 es despreciable frente a –x3, y en el tercer caso, conforme crece x en valor absoluto, 1/x es mas pequeño. Limite del tipo / en funciones racionales.- Se divide el numerador y el denominador por x elevado a la máxima potencia del denominador y se calcula el límite en cada uno de los términos del numerador y denominador. Ejemplo.-

19 Cálculo de límites en el infinito.Indeterminación del tipo -.- En ocasiones se intentar convertirla a /. Ejemplo.-

20 Cálculo de límites en el infinito.Indeterminación del tipo - con radicales.- En ocasiones se multiplica y divide por la expresión conjugada Ejemplo.-

21 Límites trigonométricosVeamos algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas Ejemplos.-

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26 - lim -

27 - 1

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32 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

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37 Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/gauss/web) En la siguiente diapósitiva

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39 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticasMas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

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42 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) (http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva