1 Límites infinitos. 1- Se dice que lím f (x) =  si: x xa)  una vecindad perforada V de 0   V Dom. f | f (x)|  0 b) lím = 0 x x f (x)

2 Lím 1 =  Ejemplo: a)  x  V Dom f 1  0 (x - 2)³x 2 (x - 2)³ a)  x  V Dom f  0 (x - 2)³ b) lím  lím (x - 2)³  0 x x  2  el límite es infinito.

3 2- Se dice que lím f (x) = + si: x x0a)  una vecindad perforada V de o   V Dom. f f (x)  0 b) lím = 0 x x0 f (x)

4  el límite es infinito positivo.Ejemplo: Lím = +  x x² a)  x  V Dom f  0 x² b) lím  lím x ²  0 x x  0  el límite es infinito positivo.

5 3- Se dice que lím f (x) = - si: x x0a)  una vecindad perforada V de o   V Dom. f f (x) < 0 b) lím = 0 x x0 f (x)

6  el límite es infinito negativo.Ejemplo: Lím = -  x x - 2 x < 2 a)  x  V Dom f < 0 x - 2 b) lím  lím x  0 x x  2 x < x x < 2  el límite es infinito negativo.

7 Límites a izquierda y a derecha.lím f (x)  lím f (x) x x x x0 + x  x0 Llamaremos límite en Xo por la derecha. Definición: lím f (x)  L x x0 +  (0)(0)(x)(xo  x  x0 +   f (x) - L  )

8 lím f (x)  lím f (x) lím f (x) Lx x x x0 ¯ x < x0 Llamaremos límite en Xo por la izquierda. Definición: lím f (x) L x x0 ¯  (0)(0)(x)(xo -   x  x0  f (x) - L  )

9 Teorema de unicidad de límites.lím f (x) = Existe  lím f (x) = lím f (x) x x x x x x0 ¯ * El resultado siempre debe ser el mismo. Ejemplo: 1) lím x ) lím x - 1 x1 ¯  x - 1 x1+  x - 1 lím x = lím x = x1 ¯ - ( x - 1) x ( x - 1)  lím x  porque los límites son diferentes -1  1 x1  x - 1

10 Límites importantes. x o x x n x x x  1) lím sen x = ) lím ex =  x o x x 2) lím n! =  ) lím ln x =  n x 3) lím n = ) lím ( ) x = e n n! x x 4) lím sen x = ) lím ( 1 +  ) 1/ =e x x  

11 9) lím f (x)  0 12) lím f (|x|) = lím f (x)x x xo xo+ entonces: lím ( ln f (x)) = ln lím f (x) ) lím e x = 0+ x x x x x - 10) lím sen 1 = ) lím e x - 1 = 1 x x xo x 11) lím f (x) = lím f (-x) xo xo-

12 Teoremas de límites. x de una vecindad reducida de xo y que:1. f 1 (x)  f 2(x)  f 3 (x) x de una vecindad reducida de xo y que: lím f 1(x) = lím f 3(x) = L  lím f 2(x) = L x x x x x x0 2. f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0

13 Caso I: lím f 1(x) = L1  lím f 2(x) = L2 con L1  L2  R f 2(x) L2x x x x0 f 2(x) L2  lím ( f 1(x)) = L1 x x0

14 Caso II: lím f 1(x) = L1  lím f 2(x) = x x L1  x x0 f 2(x)  lím ( f 1(x)) x x0 El límite se resuelve directamente.

15 Caso III: lím f 1(x) = 1  lím f 2(x) =  lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x)x x x x0 lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0 f 2(x) x x = e

16 Ejercicios: calcular los límites.x + 1 lím x x  x + 3 lím x =  lím 2x = 7 x  x x  2x lím x = x  x

17 x  2 x - 1 (x - 2) lím 4x + 1 x -2 =  lím 4x + 1 = 9  lím 1 =  lím x x =  x  x - 1 lím x =  lím =  x  x x  x - 2 a)  0 x - 2 b) lím = lím (x - 2) = 0 x  x  2 (x - 2)

18 lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4) x  4 x - 3 = e = e = e = e² lím x x -4 x  x - 3 lím x = lím =  x  x x  x - 4 lím x x  x x - 4 = e lím x x lím (x - 4) x  x x x  4 (x - 3)( x - 4) = e = e = e²

19 = ln e = ln e = ln e x = 1 lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h hlím f (x + h) - f (x) si f (x) = ln x h h lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h h h h x 1 ln lím x + h h como se cumplen las condiciones h x del caso 3... lím x + h lím x + h - x h  x h h  x h = ln e = ln e = ln e x = 1 X

20 Integrantes : Karen Arancibia Claudia Carmona Alejandra Gonzalez Grupo 4.