1 LÍMITES Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

2 Nikolay Lobachevsky (1792 – 1856)¿Qué te dice esta Frase? “No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real.” Nikolay Lobachevsky (1792 – 1856) Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

3 Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma? Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él. Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

4 El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

5 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la izquierda?Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

6 El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

7 ¿Qué ocurre con f(x) cerca de x=2, por la derecha?Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

8 Definición de límite El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a» Se denota por: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

9 Existencia del límite El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

10 Propiedades de los límites1 2 3 4 5 Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

11 Pasos para calcular límitesEvaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada. Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc. Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , - Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

12 Evaluar los siguientes límitesIngeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

13 Ejemplo 1: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

14 Ejemplo 2: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

15 Ejemplo 3: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

16 Ejemplo 4: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

17 Ejemplo 5: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

18 Ejemplo 6: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

19 Ejemplo 7: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

20 Ejemplo 8: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

21 Ejemplo 9: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

22 Ejemplo 10: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

23 Conclusión: Dado: Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

24 Límite de una sucesión Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

25 Ejemplo 11: e Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

26 Ejemplo 12: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

27 Ejemplo 13: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

28 Límites trigonométricos1 5 2 6 3 7 4 8 Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

29 Ejemplo 14: 1 Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

30 Ejemplo 15: 1 Cos 0º=1 Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

31 Ejemplo 16: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

32 Ejemplo 17: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

33 Ejemplo 17: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

34 Importante: Por cambio de variable, tenemos:Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

35 A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

36 Ejemplo 18: 11 0,5 3 Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

37 Ejemplo 18:  limite no existe y además es discontinuaIngeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

38 Ejemplo 19:  limite no existe y además es discontinua 1 -1 2 -4Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

39 Ejemplo 20: Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten: donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente? Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

40 Ejemplo 21: El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función: donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando se utilicen x unidades de droga. ¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞? Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

41 Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

42 Si f(x)= x3,calcular: Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran

43 Lo que se oye se olvida, lo que se ve se recuerda, lo que se hace se aprende. Ingeniero Henry Gonzalez - CASD Manuela Beltran