1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADESutpl LÍMITES Y SUS PROPIEDADES v LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

2 DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITESea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real: Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

3 CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITESutpl CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

4 PROPIEDADES DE UN LÍMITETeorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

5 Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

6 Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Múltiplo Escalar: Suma o Diferencia Producto:

7 Cociente: Potencias:

8 Ejemplo: Límite de un Polinomio

9 Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real: Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

10 Ejemplo: Límite de una Función racionalComo el denominador no es 0 cuando x=1

11 Teorema 1.4:Límite de una Función radicalSi n es un entero positivo: Para toda c si n es impar c > si n es par

12 Teorema 1.5 Límite de una Función CompuestaSi f y g son funciones tales que: y Entonces:

13 Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricasSea c un número real:

14 utpl Ejemplos Revisar el libro en pag. 63 hay una tenica de cancelacion cuando el límite del denomidaor es 0

15 CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALESutpl CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES

16 Definición de ContinuidadContinuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:

17 Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.

18 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

19 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

20 Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

21 Ejemplo límite LateralEncontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha

22 Teorema 1.10 Existencia de un límiteSi f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

23 Definición de Continuidad en un Intervalo cerradoUna función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

24 Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerradoAnalizar la continuidad de Se concluye que f es continua en [-1,1] Continua por la derecha Continua por la izquierda

25 Teorema 1.11 Propiedades de la ContinuidadSi b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c: Múltiplo escalar: bf Suma o Diferencia: f ± g Producto: fg Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g

26 utpl LÍMITES INFINITOS

27 Definición de Límites InfinitosSea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

28 Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

29 Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

30 Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

31 Teorema 1.15 Propiedades de los Límites InfinitosSean c y L números reales, y f y g funciones tales que: Suma o Diferencia: Producto:

32 Cociente:

33 Ejemplo: Cálculo de LímitesCalcular los siguientes límites