1 Liniowy Model Tendencji Rozwojowej Szeregów CzasowychAutor: Grzegorz Przydatek

2 Definicja szeregu czasowegoSzereg czasowy lub inaczej chronologiczny jest zbiorem wartości badanej cechy lub wartości określonego zjawiska zaobserwowanym w różnych momentach (przedziałach) czasu.

3 Przykładowy szereg czasowyMiesiące Lata I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 1991 13,6 12,3 9,8 9,5 9,3 9,4 9,9 10,9 12,7 12,9 13,5 13,0 11,5 9,1 8,7 8,9 10,7 12,8 12,2 13,4 13,2 12,0 9,7 9,0 9,6 11,0 12,5 13,3 12,1 11,2 9,2 10,6 11,3 14,0 1992 1993 1994

4 Definicja modeli tendencji rozwojowejModele tendencji rozwojowej są bardziej zaawansowaną metodą analizy szeregów czasowych; Służą do prognozowania przyszłych wartości w szeregu czasowym; Wyjaśniają kształtowanie się badanego zjawiska w czasie; Są w istocie modelami regresji, w których występuje zmienna czasowa t.

5 Modele tendencji rozwojowejŁatwo można zbudować model tendencji rozwojowej na podstawie szeregu czasowego {Yt; t=1,2,...,n}, gdy elementy Yt nie zawierają wahań okresowych Przy założeniu, że wahania przypadkowe nakładają się na trend zjawiska w sposób addytywny, model wyjaśniający wartości zmiennej Yt formułuje się następująco: Yt=H(t)+εt (t=1,2,...,n)

6 Objaśnienia do wzoru We wzorze na poprzednim slajdzie H(t)=E(Yt) jest tzw. funkcją trendu I rodzaju opisującą tendencję rozwojową badanego zjawiska, natomiast εt jest zmienną losową reprezentującą wahania przypadkowe.

7 Modele tendencji rozwojowejJeżeli funkcja trendu I rodzaju jest liniowa, a składniki losowe modelu mają także właściwości jak w klasycznym modelu regresji liniowej, to odpowiedni model (bez wahań okresowych) ma postać: ( ) = a + b + e = Y t t 1 , 2 , K , n , t t E e = , t ( ) D 2 e = s 2 , t ( ) e e = e e = cov , E dla s t s t s t

8 Modele tendencji rozwojowejJeżeli w szeregu czasowym (Yt) występują wahania okresowe, to model musi zawierać wtedy parametry i zmienne charakteryzujące te wahania w poszczególnych podokresach cyklu.

9 Modele tendencji rozwojowejZakładając, że funkcja trendu jest liniowa a wahania okresowe (kwartalne) nakładają się na tendencję rozwojową w sposób addytywny, odpowiedni model można sformułować następująco: = a + b + g + g + g + g + e Y t X X X X t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 4 t 4 t ( ) = t 1 , 2 , K , n PRZEJŚCIE DO SLAJDU 11

10 Objaśnienia do wzoru ì 1 = X í îPOWRÓT DO WZORU Objaśnienia do wzoru Xti (i=1,...,4) są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezentującymi poszczególne podokresy cyklu: ì 1 dla obserwacji dotyczących i-tego kwartału = X í ti î dla obserwacji dotyczących pozostałych kwartałów Parametry γi (i=1,...,4) stojące przy zmiennych zero-jedynkowych charakteryzują absolutną wielkość wahań okresowych w poszczególnych okresach

11 Modele tendencji rozwojowejZałożenia dotyczące składników losowych εt są takie, jak w modelu nie uwzględniającym wahań okresowych, czyli: ) , 2 ( n t = 1 K = t + e b a Y t E e = , t ( ) D 2 e = s 2 , t ) ( , e t s = cov s E t e = dla s t

12 Modele tendencji rozwojowejJeśli dodatkowo przyjmiemy założenie: ( ) e s : N , t to otrzymamy model tendencji rozwojowej równoważny klasycznemu modelowi normalnej regresji linowej.

13 DZIĘKUJE ZA UWAGE