1 Los 17 grupos cristalográficos planosElementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

2 Procedimiento generalClasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual. De G se obtienen T,J. De T se obtiene el retículo L. J debe ser un subgrupo del grupo de isometrías lineales que fijan L. En algunos casos, hay varias posibilidades para G a partir de los mismos T y J. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

3 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Retículo oblicuo En este caso, las unicas isometrías lineales que dejan fijo el retículo son Id, Aπ Los posibles subgrupos de {Id,Aπ} son {Id} {Id,Aπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

4 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Si el grupo de isometrías lineales es {Id}, G=T Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

5 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Si J={Id,Aπ}, aparece una rotación de ángulo π Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

6 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Retículo rectangular Las isometrías lineales que son simetrías de un retículo rectangular son {Id,Aπ,B0,Bπ}. Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son: {Id} (p1) {Id,Aπ} (p2) {Id,B0} {Id,Bπ} (análogo al anterior) {Id,Aπ,B0,Bπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

7 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(pm) J={Id,Bπ}, si Bπ viene de una reflexión en G (ídem con B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

8 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(pg) J={Id,Bπ}, si Bπ no viene de una reflexión en G (y por tanto viene de una reflexión con deslizamiento) (id. B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

9 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(pmm) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y B0,Bπ vienen de reflexiones en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

10 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(pmg) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y sólo B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

11 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(pgg) J={Id,Aπ,B0,Bπ} y no hay reflexiones en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

12 Retículo rectangular centradoLas isometrías lineales que son simetrías vuelven a ser {Id,Aπ,B0,Bπ}. Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son: {Id} (de nuevo es (p1)) {Id,Aπ} (p2) {Id,B0} o {Id, Bπ} {Id,Aπ,B0,Bπ} Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

13 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010J={Id,Bπ}. Se demuestra que Bπ viene de una reflexión de G. (sería análogo con B0) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

14 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(cmm) J={Id, Aπ,B0,Bπ}. Se demuestra que B0,Bπ vienen de reflexiones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

15 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Retículo cuadrado Las isometrías lineales que dejan fijo el retículo son D4=< Aπ/2,B0>. Los únicos casos nuevos que aparecen corresponden a los subgrupos D4 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

16 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010J=. En G sólo hay rotaciones y traslaciones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

17 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(p4m) J=D4 y B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

18 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(p4g) J=D4 y B0 (o Bπ) no viene de una reflexión en G Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

19 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Retículo hexagonal Las simetrías del retículo en este caso son D6= Los únicos subgrupos que suponen casos nuevos son Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

20 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010J=. En G sólo hay rotaciones y traslaciones Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

21 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(p31m) J= y B0 viene de una reflexión en G. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

22 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(p3m1) J=. Por tanto, no hay reflexiones con eje paralelo al retículo. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

23 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010J=. En G sólo hay rotaciones y traslaciones. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

24 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010(p6m) J=D6. Se puede demostrar que B0 viene de una reflexión. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

25 Teselaciones aperiódicasPenrose: “darts” and “kites”. Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

26 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

27 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010

28 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Hawaii Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

29 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Egipto1 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

30 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Egipto2 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

31 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Alhambra Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

32 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Tapiz persa Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

33 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Asiria Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

34 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: Linóleo (EEUU) Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM

35 Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010Prob 15: China Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM