1 Los metodos Runge-KuttaIntegracion numerica Los metodos Runge-Kutta

2 Contenido Metodos Runge-Kutta Errores en la estimacion Ejemplos

3 Metodos Runge-Kutta Carl David Tolmé Runge Martin Wilhelm Kutta( ) Martin Wilhelm Kutta ( ) Metodos Runge-Kutta

4 Metodos Runge-Kutta Prediccion de Euler x xi solucion verdadera h t ti ti+1 =txi + h Error por truncado: solucion verdadera

5 Metodos Runge-Kutta Prediccion de Euler xi+1 x xi fisolucion verdadera h t ti ti+1 =txi + h Los distintos metodos RK difieren en como estiman fi Para Euler (RK de 1er-orden), fi = f(xi, ti)

6 RK de 2do-orden x xi fi h x ti ti+1 = xi + h Error por truncado:promedio de las pendientes x ti El error es menor que en Euler, pero es necesario llamar a f(x,y) dos veces en cada paso ti+1 = xi + h Error por truncado: solucion verdadera

7 Algorithmo RK de 2do-ordenpredictor: corrector:

8 Metodo de Heun predictor: iteration corrector:

9 Metodo RK de 4to orden En el metodo RK de 4to orden la estimacion de la pendiente es el promedio pesado de 4 estimados en el intervalo [ti, ti+1]: Uno al principio ( ti ) Dos en la mitad (ti+ h/2), y Uno al final (tn+1 = tn+h)

10 Metodo RK de 4to orden promedio pesado 4 estimados de la pendiente

11 Metodo RK de 4to orden k2 k4 k3 k1 ti ti + h/2 ti + h

12 Ejemplos

13 Ejemplo, RK de 2do-orden solucion exacta: tv=0:0.1:7;xv=exp(-0.5*tv.^2); t=0; x=1; h=0.5; T=t; X=x; tf=6.5; while t x0=x+(-x*t)*h; x=x+(h/2)*((-x*t) + (-x0*(t+h))); t=t+h; T=[T t]; X=[X x]; end exacta

14 El algoritmo es inestable porque h es demasiado grande !

15 Reduciendo h a 0.2 da un algoritmo estable y preciso

16 Ejemplo, RK de 4to-orden En el intervalo>> tt=0:0.01*pi:pi; xx=example2_f(tt); >> [t,x]=RK4('example2_f',[0 pi],1,0.05*pi);

17 Ejemplo, RK de 4to-orden

18 Ejemplo, RK de 4to-orden >> H=plot(t,x,'r-o',tt,xx);>> set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12);

19 Fuentes Ferri Al, Numerical Solution to Differential equations, Lecture notes ME2016