1 LOS NUMEROS COMBINATORIOSLA CLASE VIRTUAL LOS NUMEROS COMBINATORIOS

2 NUMEROS COMBINATORIOSSe recuerda que el factorial del número natural n es el producto de los números naturales de 1 a n, esto es, n!=12  3  …  n y que por convenio 0!=1

3 NUMEROS COMBINATORIOSSe llama permutación de n elementos a1, a2, a3, …, an a cualquier ordenación de los mismos. Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras pqr son pqr, qrp, rpq, qpr,rqp,prq. Teorema:El número de permutaciones de n elementos vale n! En el ejemplo 3!=6

4 NUMEROS COMBINATORIOSEn lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez son pq, pr, qr, qp, rp, rq Teorema: El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez vale n!/(n-k)!.

5 NUMEROS COMBINATORIOSEn nuestro ejemplo 3!/(3-2)!=6/1=6 Nota: Si en las permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admitiera repeticiones el número de tales permutaciones sería nk En nuestro ejemplo 32=9: pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr

6 NUMEROS COMBINATORIOSSe llama combinación a una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué elementos la forman Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras pqr, precisamente pqr. Las combinaciones de pqr tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r

7 NUMEROS COMBINATORIOSTeorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la expresión El primer miembro de la expresión es la notación del número combinatorio n sobre k definido por el segundo miembro.

8 NUMEROS COMBINATORIOSNota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por

9 NUMEROS COMBINATORIOSEjemplo: El número de combinaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez es y si se admite repeticiones de letras

10 NUMEROS COMBINATORIOSEl número combinatorio se puede calcular también de la forma

11 NUMEROS COMBINATORIOSSe justifica lo anterior mediante

12 NUMEROS COMBINATORIOSSe tienen las siguientes propiedades:

13 NUMEROS COMBINATORIOSLa última propiedad permite obtener los números combinatorios de forma recursiva, dando origen al llamado triángulo de Pascal o de Tartaglia:

14 NUMEROS COMBINATORIOSLos números combinatorios aparecen como coeficientes del binomio de Newton:

15 NUMEROS COMBINATORIOSUtilizando la anterior expresión se puede probar inmediatamente: