1 MAESTRÍA EN INGENIERÍA Y GESTIÓN AMBIENTALCURSO: SIMULACIÓN DE SISTEMAS AMBIENTALES PROFESOR: M.I. Jorge Antonio Polanía P.

2 CONTENIDO INTRODUCCIÓN MÓDULO 1: TEORÍA GENERAL DE SISTEMASMÓDULO 2: PROCESOS CON MATLAB MÓDULO 3: PROCESOS CON SIMULINK MÓDULO 4: APLICACIONES

3 INTRODUCCIÓN Los modelos de simulación ambiental son herramientas que permiten simular el comportamiento de sistemas a partir de los datos de tipo físico, químico e hidrológico que caracterizan al sistema y de las complejas interrelaciones existentes entre los mismos, formuladas en forma de algoritmos matemáticos. El desarrollo tecnológico ha propiciado la utilización y el auge de los modelos matemáticos y entre ellos, los denominados modelos numéricos de simulación por computador. Esta tipología de modelos se caracteriza por:

4 La relativa economía de su desarrollo.La flexibilidad a la hora de conformar la red de interrelaciones existentes entre los parámetros ambientales. La facilidad a la hora de introducir modificaciones en los valores de estos parámetros y en las acciones exteriores a que se ve sometido el sistema modelado. La alta precisión en los resultados obtenidos. Los modelos de simulación se basan en el hecho de que si un determinado modelo es capaz de interpretar un sistema físico cuyos parámetros de entrada y acciones exteriores conocemos, es bastante presumible que será capaz de predecir situaciones futuras, permitiéndonos anticipar en el tiempo la evolución del sistema y tomar las medidas de control adecuadas para garantizar la evolución del sistema dentro de unos límites ambientales aceptables.

5 Para garantizar el cumplimiento de ese modelo es necesario diseñar una metodología, ampliamente correlacionada por la práctica, indispensable para alcanzar la calidad mínima que requiere la utilización de estas herramientas de modelamiento y simulación. El primero de los condicionantes consiste en la disponibilidad de datos adecuados, en número y calidad correspondientes al sistema físico modelado. Estos datos se extienden a los parámetros que caracterizan a nuestro sistema, pero también a las medidas de diversa índole correspondientes a las acciones externas a que se ve sometido el sistema. El desarrollo del modelo requiere la realización previa de un modelo conceptual del sistema que permita abstraer del mismo los elementos más significativos del comportamiento de nuestro interés. En este sentido, es necesario recordar que los modelos son una aproximación de la realidad y que por tanto llevan asociados un determinado error cuya magnitud debemos conocer y asumir como aceptable en función del objetivo perseguido.

6 La fase más crítica del desarrollo del modelo consiste en la calibración y el análisis de sensibilidad del sistema. Durante su desarrollo se realizan múltiples simulaciones variando en cada una de ellas los datos de entrada y analizando los resultados producidos por el modelo. La calibración y el análisis de sensibilidad de un modelo son, las etapas más costosas de su elaboración razón por la cual surge la tentación de obviarlas para reducir costos. Cuando se finalizan las simulaciones a que de lugar, se hacen generalmente predicciones anticipadas en el tiempo, aunque la utilidad del modelo no se limita a este único aspecto predictivo, pudiendo ser realizadas simulaciones sobre situaciones pretéritas para identificar, por ejemplo, el origen histórico de un determinado problema ambiental observado en el presente. Igualmente, puede ser utilizado el modelo para caracterizar el sistema, o sea, cuantificar mediante su uso la magnitud de determinados parámetros del sistema.

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18 EJEMPLO: BIOREACTOR Modelamiento:

19 Ecuación dinámica: Donde,F: Flujo volumétrico del alimentado y del fluido de salida en lt/hr. xo: Concentración másica de (m.o.) del alimentado en gr/lt. x1: Concentración másica de (m.o.) en el fluido de salida en gr/lt. m: Masa de (m.o.) dentro del tanque en gr. Ahora la masa del (m.o.) dentro del tanque es: m=x1*V, donde V es el volumen efectivo dentro del tanque Ecuación dinámica:

20 D= F/V es velocidad de dilución en lt/hr μG= Velocidad específica de crecimiento en lt/hr. μD= Velocidad específica de muerte [L/h]. Si μG>>μD, entonces se simplifica a: En régimen estacionario, Aplicando Transformada de Laplace:

21 Transformada de Laplace:Matlab

22 Simulación

23 Simulink: Para un bioreactor de fermentación continua μG = 0,5 h-1 y D = 5 h-1, si xo= 10 gr/lt, determinar, la respuesta dinámica (variación de la concentración de los m.o.).

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25 MÓDULO 1: TEORÍA GENERAL DE SISTEMASINTRODUCCIÓN TENDENCIAS DE LA TGS TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

26 1. INTRODUCCIÓN En 1950 el biólogo Ludwin Von Bertalanffy (Autriaco, ) desarrolló la Teoría General de Sistemas, como una forma de proporcionar un marco referencial integral e interdisciplinario en los que convergen conocimientos de las ciencias naturales, las matemáticas y las ciencias sociales. Esta teoría permite analizar y comprender los fenómenos de la realidad, mediante la realización de modelos, leyes, ecuaciones que interpretan en forma aproximada la realidad.

27 1.1 SISTEMA Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico. Un sistema es dinámico cuando la salida presente depende de las entradas pasadas y es estático cuando la salida presente depende solamente de las entradas presentes. 1.2 TEORÍA DE SISTEMAS Estudia los modelos, las leyes y ecuaciones que explican la estructura y el comportamiento del sistema aproximándolo a la realidad.

28 1.3 OBJETIVOS Los objetivos de la Teoría General de Sistemas son los siguientes: Impulsar el desarrollo de una terminología que permita describir las características, funciones y comportamiento de los sistemas Desarrollar un conjunto de leyes aplicables a los diferentes modelos Describir matemáticamente estas leyes mediante ecuaciones ya sean lineales o diferenciales 1.4 ESTRATEGIAS Las estrategias que se implementan en la teoría de sistemas se puede ver desde dos puntos de vista: Del estudio de los componentes del sistema, de cómo interactúan entre sí para el análisis y diseño del sistema Del estudio de la interacción entre el sistema y su entorno.

29 Estas dos estrategias son complementarias en el estudio de un sistema determinado. Por ejemplo, si vemos la universidad como un sistema, con el enfoque de la primera estrategia, analizamos sus programas, sus facultades, los institutos de investigación que integra y analizamos sus interacciones entre ellos. Con el enfoque de la segunda estrategia se tiene que analizar la universidad con su entorno, esto es, la calidad de los estudiantes seleccionados, la calidad de los egresados, la relación universidad con el sector externo, etc.

30 1.5 COMPONENTES DE UN SISTEMALos componentes básicos de un sistema son: Estructura. Se refiere a las interrelaciones y procesos entre las partes del sistema. Ambiente. Relaciona el sistema con el todo. Es su entorno Entradas. Son las fuentes de energía, recursos e información que necesita el sistema para su funcionamiento y que importa del ambiente Salidas. Son los productos o resultados que se construye a través de la estructura y los procesos internos.

31 1.6 TIPOS DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURA SERIELos elementos que conforman su estructura están unos seguidos de otros. La salida de un elemento o subsistema es la entrada del otro y así sucesivamente. G1(s) G2(s) G3(s) X(s) Y(s) G(s)

32 ESTRUCTURA PARALELA Las entradas de los elementos que componen la estructura llegan simultáneamente al sistema al igual que sus entradas. G1(s) G2(s) G3(s) + X(s) Y(s)

33 ESTRUCTURA REALIMENTADA En una estructura realimentada, la salida o parte de ella se reinyecta a la entrada, configurándose una realimentación al sistema. B(s) G(s) H(s) R(s) C(s) E(s) + - Realimentación

34 1.7 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMASLos sistemas pueden clasificarse de las siguientes maneras: Con relación al origen, ellos pueden ser naturales como por ejemplo el sistema nervioso, el sistema solar, etc o pueden ser artificiales como los creados por hombre como las máquinas. Con relación al ambiente, pueden ser sistemas en lazo abierto o sistemas en lazo cerrado o realimentados.

35 Ejemplo de un sistema hidráulico en lazo abierto y cerrado son los siguientes:

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37 TENDENCIAS DE LA TGS 2.1 CIBERNÉTICA En 1947 Norbert Wiener (sueco, ) propuso el nombre de Cibernética como la ciencia de los mandos, esto es, estructuras con elementos electrónicos correlacionados con los mecanismos que regulan la psicología de los seres vivientes y los sistemas sociales humanos. La Cibernética estudia la organización de las máquinas capaces de reaccionar y operar con mayor precisión y rapidez que los seres vivos. Se ha considerado dividida en dos áreas: La Biónica y la Robótica.

38 BIÓNICA Es la ciencia que estudia las máquinas o procesos autocontrolados imitando la vida a través de la biología y la electrónica, También se define como la organización de los seres vivos por su aplicación a las necesidades técnicas como la construcción de modelos de materia viva, particularmente las moléculas proteínicas y los ácidos nucleicos. Como aplicaciones prácticas, en ésta área de la Cibernética, tenemos el Ojo Biónico, el Oído Biónico, entre otras.

39 ROBÓTICA La Robótica es la técnica que aplica la informática al diseño y empleo de aparatos que, en sustitución de personas, realizan operaciones o trabajos, por lo general en instalaciones industriales. Se emplea en tareas peligrosas o para tareas que requieren una manipulación rápida y exacta. En los últimos años, con los avances de la Inteligencia Artificial, se han desarrollado sistemas que desarrollan tareas que requieren decisiones y autoprogramación y se han incorporado sensores de visión y tacto artificial.

40 2.2 TEORÍA DE LA INFORMACIÓNLa Teoría de la Información es una teoría matemática creada por Claude Shannon (Estados Unidos, ) en 1948, base de la teoría actual de la comunicación y codificación. Esta teoría establece los límites de compresión de la información y máxima velocidad de transmisión. Shannon consideró la información codificada de manera digital como una serie de 1’s y 0’s que se refería como bits (dígitos binarios). La información se puede tratar como una cantidad física mensurable, es aplicada por los ingenieros de comunicación y algunos de sus conceptos han encontrado su uso en la psicología y en la lingüística.

41 2.3 DINÁMICA DE SISTEMAS Durante los últimos treinta años se ha desarrollado un campo conocido como Dinámica de Sistemas, que combina la teoría, los métodos y la filosofía para analizar el comportamiento de los sistemas cuyo precursor fue Jay Forrester (Estados Unidos, años) Ingeniero Eléctrico del Instituto tecnológico de Massachusetts (MIT). Su aplicación se extiende al medio ambiente, la conducta económica, medicina, ingeniería y otros campos. La dinámica de sistemas muestra cómo van cambiando las cosas a través del tiempo. Un proyecto comienza con un problema que hay que resolver en un comportamiento indeseable que hay que corregir y evitar.

42 La dinámica de sistemas usa conceptos del campo de control realimentado para organizar la información en un modelo de simulación por computador. La simulación revela implicaciones del comportamiento del sistema representado por el modelo diseñado. En un sistema dinámico las variables asociadas sufren cambios a lo largo del tiempo, como consecuencia de las interacciones que se producen entre ellas. Su comportamiento vendrá dado por el conjunto de comportamiento de todas las variables que operan en el sistema. La dinámica de sistemas se aplica para resolver y analizar el comportamiento de los sistemas como el Sistema Mecánico, el Sistema eléctrico, Sistema Hidráulico, Sistema Térmico, Sistema Ambiental y otros.

43 3. MODELAMIENO DE SISTEMAS3.1 SISTEMA MECÁNICO Es el sistema de amortiguación de un automóvil, donde: B es el coeficiente de amortiguación que depende de la velocidad (v) K es la constante del resorte que depende de la elongación (x) x0 = Posición inicial xi = Posición final

44 Leyes de Modelo: Ecuación dinámica:

45 3.2 SISTEMA HIDRÁULICO

46 Variables del sistema:Q = Caudal estable qi = Variación del caudal de entrada qo = Variación del caudal de salida H = Altura estable h = Variación de la altura C = Capacitancia del tanque R = Resistencia hidráulica Ecuaciones dinámicas (Ecuación diferencial):

47 3.3 SISTEMA TÉRMICO

48 Variables del sistema: H = Entrada de calor en estado estable h = Cambio de calor  = Temperatura  Ecuación dinámica (Ecuación diferencial):

49 3.4 SISTEMA AMBIENTAL En contaminación atmosférica, el modelo de dispersión gaussiano es de gran aplicación para el cálculo de los niveles inmisión de PM10 (material particulado inferior a 10 micrones). Matlab es una herramienta matemática para simular sus concentraciones en las diferentes clases de estabilidad de Pasquill (A, B, C, D, E, F) y distintas velocidades del viento. El modelo de dispersión gaussiano calcula los niveles de inmisión en un punto del espacio (x,y,z) donde el origen del sistema de coordenadas se fija en la base de la chimenea. La ecuación general es la siguiente:

50 DISPERSIÓN GAUSSIANA EN UNA CHIMENEA

51 ECUACIÓN DINÁMICA

52 4. TRANSFORMADA DE LAPLACEEn este capítulo se estudiará la Transformada de Laplace inventada por el físico matemático francés Pierre Simon Laplace ( ) aplicándola a resolver una ecuación diferencial que explica el comportamiento, la dinámica de un sistema, para su análisis correspondiente. Una de las grandes aplicaciones de la Transformada de Laplace, es su utilización como método matemático para resolver ecuaciones diferenciales convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas. Nos permitirá aplicarlas para predecir el comportamiento de un sistema sin necesidad de resolver las ecuaciones diferenciales del sistema como se hace tradicionalmente.

53 4.1 DEFINICIÓN Y FUNCIONES ESPECIALES Sea f(t) un función en el tiempo, la Transformada de Laplace de f(t) es: FUNCIÓN ESCALÓN f(t)=A

54 f(t) = Ae-at, para t > 0 y f(t) = 0, para t < 0FUNCIÓN RAMPA FUNCIÓN EXPONENCIAL f(t) = Ae-at, para t > 0 y f(t) = 0, para t < 0

55 FUNCIÓN SENOIDAL f(t) = Asen(wt), para t > 0 y f(t) = 0, para t < 0 En general: A una función en el tiempo f(t), se le aplica la Transformada de Laplace y se convierte en una función en s llamada F(s)

56 4.2 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Dada la Transformada de Laplace F(s), la Transformada Inversa de Laplace es f(t). La forma más general de encontrar la transformada inversa es en forma directa o simplificarla en fracciones parciales. EJEMPLO Hallar la Transformada de Laplace de: Encontrar la Trasformada inversa de Laplace de:

57 4.2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACEDERIVACIÓN CON LAPLACE INTEGRACIÓN CON LAPLACE

58 Ahora aplicaremos la Transformada Directa e Inversa de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales, que es la forma más práctica de interpretar el comportamiento de un sistema dinámico. Ejemplo: Encontrar la solución a la ecuación diferencial en t = 5, si las condiciones iniciales son iguales a cero.

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60 5. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIALa función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial, se define como el cociente de la Transformada de Laplace de la salida y la Transformada de Laplace de la entrada.

61 5.1 TIPOS DE ESTRUCTURAS Los diagramas de bloques mediante los cuales se estructura un sistema son complejos y son generalmente combinaciones de los siguientes tipos de estructuras: A. ESTRUCTURA SERIE G(s) = G1(s)*G2(s)*G3(s) “En una estructura serie las funciones de transferência se multiplican”

62 B. ESTRUCTURA PARALELA G(s) = G1(s)+G2(s)+G3(s)“En una estructura paralela las funciones de transferencia se suman algebraicamente”

63 EJEMPLO: Encontrar la función de transferencia del siguiente diagrama en bloques: G1 y G2 están en serie = G4

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65 C. ESTRUCTURA REALIMENTADA

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