1 Maestría en Transporte Estadística Capítulo 1

2 Objetivos ¿Cómo se determinan las magnitudes para planificación de transporte, operación de transporte, etc? (el problema de la estimación, el problema de la verificación de hipótesis)

3 Objetivos ¿Cómo se determina la relación entre una variable dependiente y una o mas variables regresoras? (el problema de regresión lineal)

4 Objetivos ¿Cómo tratar problemas que se apartan de los supuestos de la regresión lineal? (el problema de las transformaciones, ponderaciones, autocorrelación, etc)

5 Objetivos ¿Cómo se analizan variables dicotómicas? (Modelos Logit, probit, etc) ¿Cómo se analizan tablas de clasificación? (el problema de estimación en tablas de contingencia)

6 Objetivos ¿Eso es todo lo que hay que decir? (Resumen de series de tiempo y tópicos avanzados de estadística. Conceptos de simulación)

7 Variables Aleatorias Concepto de Variable Numérica –Concepto de realización –X  [-  ;  ]; ó X  [0;  ]; ó X  N Concepto de Variable Aleatoria –X  [-  ;  ]; ó X  [0;  ]; ó X  N, con algunas restricciones Concepto de realización Concepto de Evento y Variable Aleatoria

8 Conceptos de probabilidad Eventos: Espacio y eventos –Variables aleatorias asociadas a eventos Concepto de probabilidad –Sea una evento A con un valor x de la variable asociada X P(A) = P(x)

9 Funciones de Probabilidad Funciones de Densidad Funciones de probabilidad Funciones de densidad de probabilidad Funciones de probabilidad acumulada Funciones de densidad acumulada

10 Funciones de Probabilidad Funciones de Densidad

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12 Descripción de Variables Aleatorias Medidas descriptivas centrales –Valor esperado o Media –Mediana –Moda Medidas descriptivas de dispersión –Varianza (desviación estándar) –Rango

13 Descripción de Variables Aleatorias

14 Momentos Kurtosis (Curtosis) y Asimetría Otros –Cuantiles y Percentiles

15 Algunas funciones de probabilidad Binomial –X  {0, 1, 2, 3,..., n}

16 Algunas funciones de probabilidad Binomial –X  {0, 1, 2, 3,..., n} –Media  =np (p:proporción) –Varianza  2 =np(1-p) –Coeficiente de Asimetría (1-2p)/(np(1-p)) 1/2 –Curtosis relativa 3+(1-6p(1-p))/(np(1-p))

17 Algunas funciones de probabilidad Poisson –X  {0, 1, 2, 3,...}

18 Algunas funciones de probabilidad Poisson –X  {0, 1, 2, 3,...} –Media  = –Varianza  2 = –Coeficiente de Asimetría 1/ 1/2 –Curtosis relativa 3+1/

19 Algunas funciones de probabilidad Geométrica Hipergeométrica Binomial negativa

20 Algunas funciones de distribución Normal –X  [-  ;  ]

21 Algunas funciones de distribución Normal –X  [-  ;  ] –Media -  <  <  –Varianza  2 >0 –Coeficiente de Asimetría 0 –Curtosis relativa 3

22 Normal

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24 Algunas funciones de distribución Uniforme –X  [a;b]

25 Algunas funciones de distribución Uniforme –X  [a;b] –Media (a+b)/2 –Varianza (b-a) 2 /12 –Coeficiente de Asimetría 0 –Curtosis relativa 9/5

26 Algunas funciones de distribución Gamma f(x) = { ( x) K-1 e - x } /  (K) Exponencial (negativa) Weibull t F

27 Algunas funciones de distribución Pearson Tipo III (Gamma, Erlang, Exponencial) En forma genérica es Gamma, si k es entero se denomina de Erlang, y degenera en exponencial si k=1

28 MODELO MATEMATICO GENERALIZADO Si  = 0 tenemos distribución gamma f (t) = [ /  (K)][ t] K-1 e - t Si además K = entero positivo tenemos distribución Erlang f (t) = [ / (K – 1) !] ( t ) K-1 e - t Si además K = 1 tenemos distribución exponencial f (t) = e - t Si K = 1 y  = 0 entonces = 1 / t* f (t) = e -t/t* ; exponencial Si K = 1 y   0 entonces = 1 / (t* -  ) f (t) = e -(t-  )/(t*-  ) ; exponencial desplazada

29 Interrogante ¿Porque la distribución de Gauss o Normal es tan famosa? Ley de los grandes números: Teorema central del límite.

30 Maestría en Transporte ¡Otra vez Estadística! Capítulo 1 Clase 2

31 Funciones de Probabilidad Conjunta Probabilidad conjunta Probabilidad marginal Probabilidad condicional Eventos independientes

32 Funciones de Probabilidad Conjunta

33 Probabilidad condicional

34 Funciones de Probabilidad Conjunta Variables Independientes

35 Concepto de muestra Sean X1, X2,..., Xn una muestras i.i.d. –Significado –Independiente –Aleatoria (probabilidad igual a todas las posibles muestras) –Idénticamente distribuidas Distribución “idéntica” significa forma de la distribución. No implica igualdad de parámetros

36 Concepto de muestra Sean X1, X2,..., Xn una muestras i.i.d. Muestras posibles ¿Significa X1, X2,..., Xn tienen la “misma” distribución? Depende... Etc...

37 Concepto de muestra

38 Descripción de datos muestrales Medidas descriptivas Promedio o media Mediana Varianza muestral DE Rango intercuartílico MAD (MAD/0,675) Deciles

39 Descripción de datos muestrales

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45 EXP Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 6.00 0. 001144 4.00 0. 5666 8.00 1. 01111233 3.00 1. 559 2.00 2. 02 1.00 2. 8 1.00 3. 3 1.00 3. 8 3.00 4. 024 1.00 Extremes (>=49) Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)

46 Distribuciones de Muestreo Concepto de “estadística” –Función de X –Ejemplo ¯X ¯ = (1/N)  X  [1,1,1,...,1]’ – ¯X ¯ = fc(X) – ¯X ¯ es v.a. –¿Cual es la distribución de ¯X ¯?

47 Distribuciones de Muestreo Suma de Variables Aleatorias Diferencia de VA Y ~N(  a i X i,  a i  i 2 )

48 Distribuciones de Muestreo Suma de cuadrados de variables aleatorias sea Xi~N( ,  2 ) i=1, 2,...,n sea Zi= (Xi-  )/  sea Y =  Zi 2 Entonces Y~  n 2

49 Distribuciones de Muestreo Suma de cuadrados de variables aleatorias sea X~  n 2 sea Z~N(0,1) sea T=Z/  (X/n) Entonces Y~t n

50 Distribuciones de Muestreo Suma de cuadrados de variables aleatorias sea X~  n 2 sea Z~  m 2 sea T=(X/n)/(Z/m) Entonces Y~F n,m

51 Distribución de la Media

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53 Distribución de S 2

54 Distribución de S 2 (Chi2)

55 Distribución t (Student)

56 Distribución F (Snedecor)