1 Marcin Bogusiak Paweł PilewskiModelowanie systemów - wiedza eksperymentalna (identyfikacja systemów)‏ Marcin Bogusiak Paweł Pilewski

2 Plan wykładu Co to jest identyfikacja systemu? Wiedza eksperymentalna.Określenie klasy modelu. Określenie parametrów modelu. Modelowanie systemu w oparciu o wiedzę eksperymentalną. Wskaźnik jakości. Przykład praktyczny. Przykład wyznaczenia modelu obiektu. Algorytm identyfikacji - przykład. Główne problemy, które możemy napotkać. 2

3 Co to jest identyfikacja systemu?Identyfikacja systemu - to wyznaczanie modelu matematycznego systemu na podstawie wiedzy o jego zachowaniu (wiedza eksperta, wiedza eksperymentalna)‏ 3

4 Wiedza eksperymentalnaWiedza eksperymentalna - wiedza o obiekcie (systemie) uzyskana na podstawie szeregu przeprowadzonych obserwacji i pomiarów. 4

5 Określenie klasy modeluWyniki szeregu przeprowadzonych eksperymentów dają możliwość określenia klasy modelu Na poniższych wykresach prezentowane są przykładowe klasy wielomianowe. 5

6 Określenie parametru modeluZałóżmy, że wybraliśy klasę modeli liniowych, zatem szukamy parametru "α" Parametr ten wyznaczamy w oparciu o wiedzę eksperymentalną 6

7 Określenie parametru modelu - cdTypowy oparty jest o metodę najmniejszych kwadratów. Jest to jedna z metod pozwalających wyznaczyć parametry modelu, gwarantująca wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów. Przyjmijmy wskaźnik modelu: suma różnic kwadratów odległości prognozowanych i obserwowanych wielkości wyjścia dla ustalonych wejść. 7

8 Określenie parametru modelu - cdZatem z rodziny prostych wybieramy tę prostą o parametrze α*, która ma najlepszy wskaźnik. Który wskaźnik jest najlepszy? - ten o najmniejszej wartości Q 8

9 Modelowanie systemu w opaciu o wiedzę eksperymentalną - SZUKANEWybór najlepszego modelu w klasie Dobór parametru modelu w taki sposób, aby wskaźnik jakości identyfikacji był najlepszy. 9

10 Modelowanie systemu w opaciu o wiedzę eksperymentalną - DANEWiedza eksperymentalna Klasa modelu, np. Wskaźnik jakości identyfikacji 10

11 Wskaźnik jakości Porównywanie wartości rzeczywistych (yrz) z prognozowalnymi wartościami z modelu (ym). 11

12 Przykład praktyczny - model czasowyWyznaczenie modelu czasowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 12

13 Przykład praktyczny - model kosztowyWyznaczenie modelu kosztowego dla układu równoległych realizatorów wykonujących określone zadania 13

14 Przykład wyznaczenia modelu obiektuDane: wyniki z przeprowadzonego eksperymentu, klasa modelu i wskaźnik jakości (kryterium). 14

15 Przykład wyznaczenia modelu obiektuNa początku rozważmy trzy możliwe parametry. 15

16 Przykład wyznaczenia modelu obiektuOtrzymane dla modelu y=1u wyniki zapisujemy w tabeli. 16

17 Przykład wyznaczenia modelu obiektuDla modelu y=2u 17

18 Przykład wyznaczenia modelu obiektuDla modelu y=1,5u 18

19 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWniosek jest taki, że z trzech modeli najlepszy okazał się model Jednak jest on najlepszy tylko z trzech rozpatrywanych, a jak wyznaczyć najlepszy model dla całej dziedziny ? Idea: - Za pomocą algorytmu identyfikacji. 19

20 Przykład wyznaczenia modelu obiektuDla klasy modeli SISO, liniowych względem parametrów. Dane: 20

21 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

22 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

23 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

24 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 21

25 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22

26 Przykład wyznaczenia modelu obiektuWyprowadzamy wzór na algorytm identyfikacji. 22

27 Przykład wyznaczenia modelu obiektuAlgorytm identyfikacji /SISO, L.w.P/ dla klasy modeli liniowych względem parametrów. Szczególny przypadek dla , czyli modeli liniowych względem parametru i względem wejścia. 23

28 Przykład wyznaczenia modelu obiektuZastosujemy Algorytm Identyfikacji (2) w naszym przykładzie: Zatem najlepszy model dla badanego przykładu to: 24

29 Przykład wyznaczenia modelu obiektuSprawdzamy jaki jest wskaźnik jakości dla najlepszego modelu y=1,35u, aby upewnić się, że jest on lepszy od tych wyliczanych poprzednio. 25

30 Czy to już jest rozwiązanie optymalne?Uzyskany model y=1,35u jest najlepszy, ale dla danej serii pomiarowej i danej klasy modeli. Zazwyczaj uwzględnienie dodatkowych pomiarów poprzez dostarczenie dodatkowych informacji o obiekcie umożliwi uzyskanie modelu "lepszego". A co z innymi klasami modeli, może dla nich uzyskamy "lepszy" model? 26

31 Czy to już jest rozwiązanie optymalne?Badamy zatem klasę y=αu2 dla tych samych danych i stosując Algorytm Identyfikacji (1) wyznaczmy optymalny parametr. 27

32 Wyznaczenie wskaźnika dla drugiej badanej klasy modeliObliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie (y=0,35u2). Porównjąc wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" oraz wartość Q(α*)=11 dla najlepszego modelu "kwadratowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 28

33 Rozważamy kolejną klasę modeliBadamy klasę i wyznaczmy optymalny parametr Następnym krokiem tak, jak w przypadku poprzednich klas jest sprawdzenie wskaźnika jakości. 29

34 Wyznaczenie wskaźnika dla trzeciej badanej klasy modeliObliczamy wskaźnik jakości dla najlepszego modelu w tej klasie ( ). Porównując otrzymaną warość Q(α*)=6 oraz wartość Q(α*)=5,82 dla najlepszego modelu "liniowego" stwierdzamy, że model liniowy jest lepszy. 30

35 Prognozowanie liczby ludności - MatlabŚrodowisko Matlab oferuje wiele gotowych pakietów służących do modelowania obiektów rzeczywistych Na podstawie danych z lat , dotyczących liczby ludności, Matlab tworzy model i prognozuje wskaźnik demograficzny w kolejnych latach 31

36 Prognozowanie liczby ludności - MatlabW tym celu Matlab dokonuje aproksymacji danych wejściowych wielomianem Stopień wielomianu można zmieniać, aby aproksymacja najlepiej odzwierciedlała dane wejściowe Przykładowo chcemy, otrzymać przewidywaną liczbę ludności w 2010r. 32

37 Prognozowanie liczby ludności - MatlabWynik można zilustrować na wykresie. Model podaje jako przewidywaną liczbę ludności USA w roku 2010 33

38 Dekompozycja modelu MIMO na MISOUkład wielowyjściowy można potraktować jako równoległe połączenia n obiektów jednowyjściowych 34

39 Dekompozycja modelu MIMO na MISODzięki takiej dekompozycji możemy kolejno identyfikować poszczególne obiekty jednowyjściowe W każdym pojedynczym zadaniu identyfikacji może być wykorzystana ta sama seria pomiarowa (jeśli tylko spełnia ona wspólny dla wszystkich zadań warunek identyfikalności)‏ 35

40 Główne problemy, które możemy napotkaćWażne jest prawidłowe określenie klasy modelu, poprzez wykorzystanie dostępnej wiedzy eksperta i empirycznej. Trudne wyznaczenie parametru dla "skomplikowanych" (np. niewielomianowych) klas modeli. Właściwy dobór wskaźnika jakości, który służy głównie do interpretacji uzyskanego wyniku. Dobór odpowiedniej liczby pomiarów oraz odpowiedni plan eksperymentu (miernictwo). 36

41 Trudniejsze zagadnienia dla bardziej dociekliwychModele liniowe względem parametrów (m parametrów). Modele - ważony wskaźnik jakości, a w konsekwencji algorytm identyfikacji z uwzględnieniem wag. Planowanie aktywnych eksperymentów spełniających warunek identyfikowalności. 37

42 Podsumowanie Pojęcia identyfikacja systemów i wiedza eksperymentalna.Określenie klasy modelu. Określenie parametru modelu. Algorytm identyfikacji. Przykład przebiegu procesu identyfikacji. 38

43 Literatura Leszek Koszałka, Marek Kurzyński "Zbiór zadań i problemów z teorii identyfikacji, eksperymentu i rozpoznawania" Wrocław, Politechnika Wrocławska, 1991 Pod red. Ewy Bylińskiej "Identyfikacja procesów" Gliwice, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 1997 Torsten Soderstrom, Petre Stoica "Identyfikacja systemów" Warszawa, Wydawnictwo Naukowe PWN,1997 39

44 Koniec Dziękujemy za uwagę