1 Martes 20 de marzo de 2012 de 12:00 a 13:30
2
3
4
5
6
7
8 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
9
10 Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas
11 Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable
12
13 Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables
14 El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella
15
16 Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I Ya veremos más adelante ejemplos
17 Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I Ya veremos más adelante más ejemplos
18 Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I Una solución particular es cualquier solución. La solución general es el conjunto de todas las soluciones.
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29 Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor de la variable independiente, constituye un problema de condiciones iniciales (initial- value problem). Las condiciones subsidiarias son las condiciones iniciales.
30
31
32
33
34
35
36
37 Si las condiciones subsidiarias se dan para más de un valor de la variable independiente, el problema se llama de valores a la frontera (boundary-value problem) y las condiciones se llaman de frontera (boundary conditions).
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110 Martes 27 de marzo de 2012 de 12:00 a 13:30
111
112 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
113
114
115
116 Ejemplo
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166 Martes 10 de abril de 2012 de 12:00 a 13:30
167
168
169
170 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
171
172
173
174
175
176
177
178 Ejemplo
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194 Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205 Martes 17 de abril de 2012 de 12:00 a 13:30
206
207 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234 Ejemplo
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262 Ejemplo1 Ejemplo 2
263
264
265
266
267
268 Ejemplo1 Ejemplo 2
269 Martes 24 de abril de 2012 de 12:00 a 13:30
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281 Ejemplo
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309 Ejemplos: 1 2 3
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331 Ejemplos: 1 2 3
332 Ejemplo 1
333
334
335
336 Ejemplo 2
337
338
339
340 Ejemplo 3
341
342
343
344
345 Ejemplo
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373 Ejemplo 1 Ejemplo 2
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384 Martes 8 de mayo de 2012 de 12:00 a 13:30
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
413
414 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455 Clase del jueves 4 de febrero del 2010 de 16:30 A 18:00
456
457 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
458
459 Ejemplos: 1, 2, 3123
460 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504 Ejemplos: 1, 212
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528 Hasta aquí llegué el jueves 4 de febrero del 2010
529
530 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575 Calcular todos los valores propios Calcular los vectores propios correspondientes Formar la matriz C con los vectores propios Aplicar C -1 AC
576 Calcular todos los valores propios Calcular los vectores propios correspondientes Formar la matriz C con los vectores propios Aplicar C -1 AC
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598 Ejemplo: 11
599
600 Ejemplos: 1, 2, 3123
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619 Hasta aquí en la quinta clase el viernes 20 de junio del 2008
620 Lunes 23 de junio del 2008. Sexta clase
621 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iniciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649 Clase del miércoles 17 de febrero del 2010 de 12:30 a 14:00
650
651 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial ordinaria Problema de valores iníciales y de valores a la frontera Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias Solución mediante series de ecuaciones diferenciales ordinarias
691
692
693 Los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial son analíticas en todos lados Sumas diferencias y productos de los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial también son analíticas en todos lados Cocientes de dos de estas funciones son analíticas en todos los puntos en los cuales el denominador no se hace cero
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706 Ejemplos: 1, 212
707
708
709 Ejemplo: La ecuación de LegendreLa ecuación de Legendre
710 Resolver la ecuación diferencial de Legendre (1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0 mediante el uso de series de potencias.
711 Usaremos ahora el método de series de potencias. Escribimos la ecuación como (1-x²)y´´-2xy´+α(α+1)y=0 Es claro que el 0 es un punto ordinario de la ecuación, ya que los coeficientes son analíticos alrededor de 0. Por tanto, proponemos que la solución se puede escribir como y(x)=∑_{k=0}^{∞}a_{k}x^{k}