1 Matemáticas 1º Bachillerato CTECUACIONES Y SISTEMAS Tema 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

2 Tema 2.4 * 1º BCT ECUACIONES POLINÓMICAS @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT

3 ECUACIONES DE PRIMER GRADOPara resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

4 Matemáticas 1º Bachillerato CTEjemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 x – =  x = 7 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – = x  x = x + 7 x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 x – = x  x = x  INFINITAS SOLUCIONES 4. Resolver la ecuación: (x / 3) – 2 = 6 x / 3 =  x / 3 = 8 x =  x = 24 5. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  = x - 18 – = x  12 = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

5 Matemáticas 1º Bachillerato CTECUACIÓN DE 2º GRADO Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + c = 0 a.x2 = - c  x2 = - c / a  x = +/- √ (- c / a) EJEMPLO_1 Sea 9.x = 0 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9)  x = 4 / 3 y x = - 4 / 3 EJEMPLO_2 Sea 5.x = 0 5.x2 = 10  x2 = 10 / 5 = 2  x = +/- √ 2  x = √ 2 y x = - √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

6 Matemáticas 1º Bachillerato CTECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 x . (a.x + b ) = 0  x = 0 es un raíz   a.x + b = 0  x = - b / a es otra raíz EJEMPLO_1 Sea 2.x x = 0 x . (2.x + 8 ) = 0  x = 0 es una raíz   2.x + 8 = 0  x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz EJEMPLO_2 Sea 2.x2 + √2.x = 0 x . (2.x + √2 ) = 0  x = 0 es una raíz   2.x + √2 = 0  x = - √2 / 2 es la otra raíz @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

7 Matemáticas 1º Bachillerato CTSolución general de ecuaciones de segundo grado 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) Con el + hallamos una x = ---‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra 2.a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

8 Matemáticas 1º Bachillerato CTEJEMPLO 1 3.x x – 2 = 0  a = 3 ,, b = ,, c = – 2 + 5 +/- √( ) (5 + 7)/6 = 12/6 = 2 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑---‑ = (5 – 7)/6 = -2/6 = - 1/3 EJEMPLO 2 x x + 8 = 0  a = 1 ,, b = -5 ,, c = 8 + 5 +/- √(25 – 32) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑------‑ = No hay raíces reales 2 EJEMPLO 3 9.x x + 4 = 0  a = 9 ,, b = ,, c = 4 + 12 +/- √(144 – 144) /18 = 2/3 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑---‑--- = /18 = 2/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

9 PROPIEDADES DE LAS RAÍCESEn CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = a a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) b b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = = 2.a a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

10 PROPIEDADES DE LAS RAÍCESEn CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = a a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = a a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = 4.a a a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

11 Ecuaciones BICUADRADASECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

12 Matemáticas 1º Bachillerato CTEJEMPLO_1 Sea x x = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: y y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-13) +/- √[(-13)2 – ] Resolviéndola: y = = 2.1 13 +/- √[169 – 144] /- √ /- 5 = = = = 9 y 4 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 9  x = +/- √ 9  x = +/- 3  x1 = 3 , x2 = -3 Si x2 = y = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2  x3 = 2 , x4 = -2 Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

13 Matemáticas 1º Bachillerato CTEJEMPLO_2 Sea x x = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: 3.y y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)] Resolviéndola: y = = 2.3 74 +/- √[ ] /- √ /- 76 = = = = 25 y / 3 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 25  x = +/- √ 25  x = +/- 5  x1 = 5 , x2 = - 5 Si x2 = y = - 1/3  x = +/- √ - 1/3  x3 y x4 no son reales Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

14 Matemáticas 1º Bachillerato CTEJEMPLO 3 Sea x x3 + 8 = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: y y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8] Resolviéndola: y = = 2.1 9 +/- √[81 – 32] /- √ /- 7 = = = = 8 y 1 Deshacemos el cambio: 3 Si x3 = y = 8  x = √ 8  x = 2  x1 = 2 , x2 y x3 no reales Si x3 = y = 1  x = √ 1  x = 1  x4 = 1 , x5 y x6 no reales Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT