1 Matemáticas Aplicadas CS IECUACIONES Y SISTEMAS TEMA 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

2 ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADOTEMA * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

3 ECUACIONES DE PRIMER GRADOPara resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

4 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – =  x = 7 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – = x  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 x – = x  x = x  INFINITAS SOLUCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

5 Matemáticas Aplicadas CS IEjemplos 4. Resolver la ecuación: (x / 3) – 2 = 6 Sumo 2 a ambos lados, quedando: x / 3 =  x / 3 = 8 Multiplico todo por 3, quedando: x =  x = 24 5. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – = x  12 = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

6 Matemáticas Aplicadas CS IECUACIÓN DE 2º GRADO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO .‑ Es aquella igualdad que, tras pasar todo a un lado de la misma, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números, y siempre a<>0 Pueden ser completas o incompletas. a.x2 + b.x + c = 0 a.x2 + b.x = 0 a.x c = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

7 Matemáticas Aplicadas CS IECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + c = 0 Paso a.x2 = - c Paso x2 = - c / a Paso x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO_1 Sea x = 0 x2 = 4  x2 = 4 / 1 = 4  x = +/- √ 4  x = 2, x = - 2 EJEMPLO_2 Sea 9.x = 0 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9)  x = 4/3 y x = - 4/3 EJEMPLO_3 Sea 5.x = 0 5.x2 = 10  x2 = 10 / 5 = 2  x = +/- √2  x = √2 y x = - √2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

8 Matemáticas Aplicadas CS IECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 Paso Se extrae factor común x . (a.x + b ) = 0 Se igualan a cero cada uno de los factores Paso x = 0 es un raíz Paso a.x + b = 0  de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO_1 Sea 2.x x = 0 x . (2.x + 8 ) = 0  x = 0 es una raíz 2.x + 8 = 0  x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz EJEMPLO_2 Sea 3.x x = 0 x . (3.x - 8 ) = 0  x = 0 es una raíz 3.x - 8 = 0  x = 8 / 3 es la otra raíz EJEMPLO_3 Sea 2.x2 + √2.x = 0 x . (2.x + √2 ) = 0  x = 0 es una raíz 2.x + √2 = 0  x = - √2 / 2 es la otra raíz @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

9 Matemáticas Aplicadas CS IECUACIÓN COMPLETA Resolución de ecuaciones completas 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) Con el + hallamos una x = ---‑ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra 2.a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

10 Matemáticas Aplicadas CS I1.- Sea x x + 2 = 0 a = 1 ,, b = -3 ,, c = 2 + 3 +/- √(9 – 8) (3 + 1) / 2 = 2 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑---‑ = (3 – 1) / 2 = 1 Factorizado: (x – 1).(x – 2)=0 2.- Sea 3.x x + 2 = 0 a = 3 ,, b = ,, c = 2 + 5 +/- √(25 – 24) (5 + 1)/6 = 1 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑---‑ = (5 – 1)/6 = 2/3 Factorizado: (x – 1).(x – 2/3)=0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

11 Matemáticas Aplicadas CS I3.- Sea x x + 8 = 0 a = 1 ,, b = -5 ,, c = 8 + 5 +/- √(25 – 32) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑------‑ = No hay raíces reales 2 Factorizado: No se puede. 4.- Sea 9.x x + 4 = 0 a = 9 ,, b = ,, c = 4 + 12 +/- √(144 – 144) /18 = 2/3 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ‑---‑--- = /18 = 2/3 Las dos raíces son iguales. Factorizado: (x – 2/3).(x – 2/3) = 0  (x – 2/3)2 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

12 Propiedades de las raícesEn CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = a a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) b b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = = 2.a a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

13 [Fórmulas de Cardano-Vieta]Veamos la segunda propiedad de las raíces: ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = a a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = a a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = 4.a a a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I