1 MATEMÁTICAS II 2º BACH CYTANÁLISIS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS II 2º BACH CYT

2 Límites Continuidad Derivabilidad Teoremas de continuidad y derivabilidad Aplicaciones de la derivabilidad: tangente a una curva en un punto, regla de L´Hôpital, optimización, cálculo parámetros, derivadas sucesivas Representación de funciones Integral indefinida Integral definida. Cálculo de áreas de recintos planos

3 REPASO 1º BACH CÁLCULO DE LÍMITES DERIVADASGRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES PROPIEDADES DE FUNCIONES DE FORMA GRÁFICA

4 REGLA DE L`HÔPITAL para el cálculo de límites(pág 298) Aunque es un contenido de 2º de BACH y habría que estudiarlo después de derivabilidad, se considera necesario verlo en este momento pues se va a aplicar a continudidad y derivabilidad. Por otra parte, se puede entender sin ningún problema porque en 1º de BACH ya se vio derivabilidad y en este curso se ha repasado el cálculo de derivadas.

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6 Ejemplos

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8 Ejemplos

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10 Ejemplos

11 Salvando indeterminaciones del tipo ∞ - ∞Realizar la operación para convertir la indeterminación en una del tipo 0/0 ó ∞ / ∞ Ejemplos:

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13 Ejemplos

14 GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

15 FUNCIONES POLINÓMICAS (Dominio = R)FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA o LINEAL: y = m·x

16 FUNCIONES AFINES: y = mx + n

17 FUNCIONES CUADRÁTICAS o PARABÓLICAS y = ax2 + bx +cSu gráfica es una parábola El vértice se encuentra en x = -b/2a . La coordenada y se calcula hallando la imagen de x. Si no te acuerdas de este valor, recuerda que el vértice es el máximo o mínimo de la parábola y, por tanto, basta con que resuelvas la ecuación y ‘ = 0 Si a>0 el vértice es un mínimo, si a Puntos de corte con los ejes de coordenadas: * Eje x: resolver la ecuación y = 0. (Puede tener 2 soluciones ( 2 cortes), 1 (1 corte) o ninguna (no corta al eje x) * Eje y: hacer x =0. (Siempre corta a este eje)

18 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = k/x (Dominio = R – {0})Su gráfica es una hipérbola K es la constante de proporcionalidad inversa Si k>0, la gráfica está en el 1º y 3º cuadrantes, si k<0, está en el 2º y 4º cuadrante Los ejes son asíntotas de la función. y = 1/x y = -1/x

19 FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax Domino = RSi a>1, la función crece; si a<1, decrece El eje x ( y = 0)es una asíntota horizontal por la izquierda (a>1) o por la derecha (a<1) Corta al eje de ordenadas en y =1

20 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logax Dominio = (0, +∞)Corta al eje de abscisas en x = 1 Si a>1, la función crece; si a<1, decrece. El eje de ordenadas (x = 0) es una asíntota vertical por abajo (a>1) o por arriba (a<1)

21 LAS FUNCIONES EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA SON INVERSAS: simétricas rLAS FUNCIONES EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA SON INVERSAS: simétricas r. de la bisectriz del 1º y 3º c. y = 3x y = log3x

22 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASy = senx - Dominio = R - Periódica: T = 2π - Recorrido: [-1,1]

23 y = cosx - Dominio = R - Periódica: T = 2π - Recorrido: [-1,1]

24 y = tgx - Dominio = R-{(2k+1)π/2 , k ϵZ} - Periódica: T = π- Asíntotas verticales en x= (2k+1)π/2, kϵZ

25 FUNCIONES A TROZOS

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27 VALORES ABSOLUTOS

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32 FUNCIÓN PARTE ENTERA

33 PROPIEDADES FUNCIONESDominio Recorrido Puntos de corte ejes coordenadas Simetría Periodicidad Continuidad Asíntotas Monotonía y Extremos relativos y absolutos Curvatura y Puntos de inflexión

34 EJEMPLOS P(2,-1) es m.r y P.I.

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41 EJERCICIOS: propiedades Pág 205: 9 a, d, e y g

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45 EJERCICIOS: representa –f(x) y |f(x)

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48 EJERCICIOS: dibujar gráficas correspondientes a estas funcionesPág. 205 y 206: 11 , 18, 23 Pág. 230: 1 y 2

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51 EJERCICIOS DE REPASO Pág 202: 4 (está hecho) Pág 195: 5 (está hecho)Pág 205: 12a Pág 207: 9 (autoevaluación) Pág 213: 4 (está hecho) Pág 228: 1a (está hecho) Pág 231: 10 (solución a = 1) Pág 232: 14 Pág 232: 19 a (solución a = 2) Pág 233: 4 (autoevaluación) Representa las siguientes funciones: (están hechas en las págs 237 y 238) f(x) = 𝑥 + |𝑥| 𝑥 f(x) = |x - 3| 𝑓 𝑥 = 𝑥 1+ 1 𝑥 𝑠𝑖 𝑥≠ 𝑠𝑖 𝑥=0

52 CONTUNIDAD (tema 10)

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54 Esta función es continua en x = 2

55

56 Esta función es continua en x = 0-

57 Esta función es continua en x = 0+

58 3- DISCONTINUIDAD EN x = a Por abuso del lenguaje, aunque f(x) no esté definida en x = a también se estudia ahí la continuidad. Habrá que estudiar qué tipo de discontinuidad existe. Estas funciones son discontinuas evitables en x = 2

59 Esta función es discontinua evitable en x = o

60 Ejemplo:

61 Este tipo de discontinuidad se puede evitar redefiniendo la función y haciendo que f(a) sea el límite de la función en x = a. Ejemplo:

62 EJEMPLO

63 Esta función es discontinua de salto finito en x = 0Esta función es discontinua de salto finito en x = 0

64 Estas funciones son discontinuas de salto infinito en x =0

65 CONTINUIDAD EN UN INTERVALOf(x) es continua en (a,b) si lo es en todos sus puntos. f(x) es continua en [a,b] si lo es en (a,b), en a+ y en a-. f(x) es continua si lo es en su dominio

66 CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES

67 SE PUEDE PEDIR EL ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN:* UN PUNTO * EN UN INTERVALO ABIERTO * EN UN INTERVALO CERRADO * EN EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN EN LA PRÁCTICA NO SE PUEDE ESTUDIAR LA CONTINUIDAD PUNTO A PUNTO: * EN EL PRIMER CASO, SE ESTUDIA EN EL PUNTO PEDIDO. * EN EL RESTO DE LOS CASOS, SE ESTUDIA EN LOS PUNTOS PROBLEMÁTICOS (PUNTOS DONDE LA FUNCIÓN CAMBIA DE EXPRESIÓN A IZQUIERDA Y DERECHA o PUNTOS DONDE SE ANULA EL DENOMINADOR) Y EN EL RESTO DE LOS PUNTOS ( LOS INTERVALOS) SE GENERALIZA POR SER OPERACIONES DE FUNCIONES CONTINUAS

68 EJERCICIOS Pág 241: 5 (continuidad gráfica)Pág 256: 24 (valor absoluto, composición y continuidad) Pág 257: 8 (parámetros continuidad y pasar por un punto) Pág 256: 34 (sólo hacer continuidad en [0,3]) Estudia la continuidad de la función f(x) en x = 0. Estudia la continuidad de la función

69 Halla los parámetros “a” y “b” para que la función f(x) sea continua en R.¿Es continua la función f(x) = (x-senx)/senx2 en el intervalo [-π/2, π/2]? ¿Es posible asignar un valor a f(x) en x = 0 para que la función sea continua? Define la función para que sea continua en ese intervalo Razona si la siguiente función es continua en x = 0

70 Pág 254: 1, 2, 6a, 7 a,b, 8

71 DERIVABILIDAD (tema 11)

72 DERIVABILIDAD EN x = a

73 EJERCICIO Calcula f ‘ (3) aplicando la definición f(x) = x2Calcula f ‘ (3) derivando f(x)

74 DERIVABILIDAD LATERAL EN x = a𝒇 𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒙=𝒂 𝑠𝑖 lim ℎ→ 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ ∈𝑅 A dicho límite se le llama derivada por la derecha de x = a y se representa f ‘( 𝒂 + ) 𝒇 𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒙=𝒂 𝑠𝑖 lim ℎ→ 0 − 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ ∈𝑅 A dicho límite se le llama derivada por la izquierda de x = a y se representa f ‘( 𝒂 − )

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77 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x)

78 EJERCICIO: Pág 267: 1. Calcula la derivada de f(x) = 3x-2x2 aplicando la definición

79 Si f(x) no es continua en x = a → no es derivable en x = a

80 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE f’(a)i.e.: f ’ (a) = pendiente (m) de la recta tangente en x = a

81 EJEMPLO: f(x) = |x2-4| No es derivable en x= -2 ni en x = 2 SE DEDUCEGráficamente una función f(x) es derivable en x = a si la función no presenta picos en (a,f(a)) y es continua en x = a i.e.: f(x) no es derivable en x = a si la función presenta picos en (a,f(a)) o no es continua en x = a EJEMPLO: f(x) = |x2-4| No es derivable en x= -2 ni en x = 2

82 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES

83 EN LA PRÁCTICA: - Antes de estudiar la derivabilidad comenzaremos estudiando la continuidad, aunque no nos lo pidan: * Si f(x) no es continua en x = a, entonces no es derivable en x = a * Si f(x) es continua en x =a, entonces puedo estudiar la derivabilidad - Igual que se indicó en la continuidad, solo se estudiará la derivabilidad en los puntos aislados pedidos. Si se pidiera en un intervalo o en el dominio, se estudiaría en los puntos problemáticos y en el resto se generalizaría.

84 EJERCICIOS Derivabilidad gráfica: pág 264, 280:1Interpretación geométrica derivada: pág 281:1 Pág (resuelto) Estudia la derivabilidad en x = f(x) = 𝑥 2 −2𝑥 𝑠𝑖 𝑥≤1 𝑥− 𝑠𝑖 𝑥>1 Pág 282: 3 (derivabilidad en un punto) Derivabilidad en [-2,0] de f(x) = 1 𝑥 𝑠𝑖 −2≤𝑥≤−1 𝑥 3 − 𝑠𝑖 −1<𝑥<0

85 Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |x2-9|Pág (resuelto). Parámetros para que sea derivable en x = 0 f(x) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥≤0 − 𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥>0 Pág (derivabilidad y f’(x)) f(x) = 𝑥 1+|𝑥| Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en x = 0. f(x) = 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑠𝑖 𝑥≤0 ln⁡(𝑥+1) 𝑥 𝑠𝑖 𝑥>0

86 Sea f(x) = 𝑙𝑛𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥>1 2 𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥≤1Dada la función f(x) = x|x-1|, estudia su derivabilidad y escribe su derivada. Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |𝑥−2| 𝑥 y calcula su derivada. Sea f(x) = 𝑙𝑛𝑥− 𝑠𝑖 𝑥>1 2 𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥≤1 a- Calcula “a” y “b” para que la función f(x) sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. b- Para los parámetros calculados, estudia su derivabilidad.