1

2 MATEMATYCZNO FIZYCZNADANE INFORMACYJNE: ZESPÓŁ SZKÓŁ LEŚNYCH im. inż. Jana Kloski w GORAJU ID grupy: /85_MF_G1 Opiekun: Adam Małysko Kompetencja: MATEMATYCZNO FIZYCZNA Temat projektowy: AS_TP110 Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: SEMESTR IV /2011

3 METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWAAS TP 110 METODY KOMBINATORYCZNE W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

4 Co to jest Kombinatoryka?Kombinatoryka jest to dział matematyki zajmujący się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań. Metody kombinatoryki wykorzystywane są w wielu różnych działach matematyki, głównie w rachunku prawdopodobieństwa oraz teorii liczb.

5 Najważniejsze pojęcia związane z kombinatoryką

6 PERMUTACJE Permutacja  –  wzajemne jednoznaczne przekształcenie  pewnego  zbioru  na  siebie. Najczęściej termin ten oznacza funkcję na zbiorach skończonych. Permutacją zbioru n- elementowego nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.

7 PERMUTACJE Permutacja spełnia następujące warunki: - każda permutacja obejmuje wszystkie dane elementy, - istotna jest tylko kolejność elementów permutacji.

8 PERMUTACJE Z permutacjami zbioru mamy do czynienia wówczas, gdy porządkujemy elementy tego zbioru. Permutacja to każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności.

9 PERMUTACJE WZÓR Pn = n! n! = 1*2*3*4*…*(n-2)*(n-1)*n

10 PERMUTACJE Z permutacjami zbioru mamy do czynienia wówczas, gdy porządkujemy elementy tego zbioru. Permutacja to każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności. Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć następujące permutacje:  {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.

11 PERMUTACJE PRZYKŁAD PERMUTACJI

12 Kombinacja bez powtórzeńKombinacja bez powtórzeń to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k - elementową zbioru  n - elementowego A nazywa się każdy  k - elementowy podzbiór zbioru A  (0 ≤ k ≤ n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".

13 Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzoremWZÓR

14 Prawdopodobieństwo trafienia "szóstki", tjPrawdopodobieństwo trafienia "szóstki", tj. wszystkich liczb podczas losowania Lotto 

15 PRZYKŁADY KOMBINACJI

16 Wariacja bez powtórzeńWariacją bez powtórzeń  k - wyrazową zbioru  n - elementowego A (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k - wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k = n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.

17 PRZYKŁADY

18 Liczba wszystkich k - wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n - elementowego wyraża się wzorem:

19 Wariacja z powtórzeniamiWariacją z powtórzeniami k - wyrazową zbioru n - elementowego A nazywa się każdy K - wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie.

20 WZÓR

21 PRZYKŁADY

22 REGUŁA MNOŻENIA

23 Klasyczna definicja prawdopodobieństwaNiech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe: gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś |Ω|- liczbę elementów zbioru Ω.

24 Własności prawdopodobieństwa0≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω P (Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne P (Ø) = 0 Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω) P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.

25 Prawdopodobieństwo warunkoweNiech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, ze zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę:

26 A TO CZĘŚĆ NASZEJ EKIPY

27 ZAJĘCIA W TERENIE

28 PRACA Z TABLICĄ

29 TABLICA I PIOTREK

30 PRZEZ ZABAWE DO WIEDZY

31