1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.plWszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Matematyka jest miarą wszystkiego.”Arystoteles

3 NIERÓWNOŚCI Nie wszystkie zadania da się rozwiązać za pomocą równań. Czasem spotykamy się z sytuacjami, w których należy określić pewną granicę powyżej, lub poniżej której dopuszczamy wartości. Np. ile dorosłych osób ważących średnio 80 kg może jechać windą o dopuszczalnej ładowności 800 kg. Taką windą może jechać jedna, dwie osoby, może nią jechać 10 osób ale 11 to już za dużo. Do rozwiązywania tego typu problemów służą nierówności.

4 CZYM SĄ NIERÓWNOŚCI? Nierównością nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem nierówności (< ; > ;  ; ) Przykłady nierówności stopnia pierwszego z jedną niewiadomą: 3x + 4 > 2 2x – 7 < 5x + 1 43x  1,2 3  2x + 0,5

5 ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI.Liczba spełnia nierówność, jeżeli po jej podstawieniu za niewiadomą i wykonaniu działań otrzymamy nierówność prawdziwą. Np. Liczba 2 spełnia nierówność 2x + 3 < 11, gdyż 2 ∙ = 7, mamy więc 7 < 11 czyli nierówność jest prawdziwa. Rozwiązaniem nierówności nazywamy każdą liczbę spełniającą nierówność. Nierówność uważamy za rozwiązaną, jeżeli umiemy określić zbiór wszystkich jej rozwiązań.

6 ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI.Wszystkie liczby spełniające daną nierówność (zbiór rozwiązań nierówności) można przedstawić na osi liczbowej. Np. x > -1 x  -1 x < -1 x  -1 Zwróć uwagę na „kółeczka”. Dla nierówności ostrych (< ; >) jest ono otwarte; dla nierówności nieostrych ( ; ) jest no zamalowane. Kółeczko otwarte oznacza, że dana liczba nie znajduje się w zbiorze rozwiązań nierówności, natomiast zamalowane oznacza, że dana liczba też należy do zbioru rozwiązań nierówności

7 JAK ROZWIĄZAĆ NIERÓWNOŚĆ.Rozwiązując nierówność postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równania metodą równań równoważnych, należy jednak pamiętać o jednej ważnej zasadzie: Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny.

8 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Rozwiąż nierówność: 3x + 4 < 16Od obu stron nierówności odejmujemy 4 Obie strony nierówności dzielimy przez 3. Dzielimy przez liczbę dodatnią więc zwrot nierówności pozostaje niezmieniony. Rozwiązanie nierówności

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Rozwiąż nierówność: -3x + 4 < 16Od obu stron nierówności odejmujemy 4 Obie strony nierówności dzielimy przez -3. Dzielimy przez liczbę ujemną więc zwrot nierówności zmieniamy na przeciwny Rozwiązanie nierówności

10 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Rozwiąż nierówność:3(x – 9) – 4 ∙ 2(3x – 1)  0 3x – x + 8  0 3x – 24x  -21x  19 | : (-21) x  Obie strony nierówności mnożymy przez 12. Zwrot nierówności bez zmian. Mnożymy wyrażenia w nawiasach. Przenosimy liczby na drugą stronę nierówności zmieniając ich znak na przeciwny. Obie strony nierówności dzielimy przez -21. Zwrot nierówności zmieniamy na przeciwny. Rozwiązanie nierówności

11 SZCZEGÓLNE PRZYPADKI NIERÓWNOŚCI.Nie zawszę zbiór rozwiązań nierówności da się przedstawić na osi liczbowej. Podobnie jak w przypadku równań istnieją nierówności, które nie mają rozwiązań oraz takie, które spełnia każda liczba. Przykład nierówności, której nie spełnia żadna liczba: 2x – 1 > 2x Przykład nierówności, którą spełnia każda liczba: 2x + 1 > 2x

12 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1.Zapisz za pomocą nierówności zaznaczony zbiór rozwiązań. Kółko przy 300 jest zamalowane, więc nierówność musi być nieostra, strzałka oznaczająca zbiór rozwiązań jest skierowana w lewo, więc musimy użyć symbolu „mniejszy lub równy”: x  300

13 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2.Na podstawie tekstu zapisz odpowiednią nierówność: Jajka kosztowały po x zł za sztukę. Przed Wielkanocą podrożały o 10 groszy i za 6 sztuk płaciło się więcej niż przedtem za 8. 8x – cena ośmiu jajek przed podwyżką (x + 0,1) – cena jajek po podwyżce 6(x + 0,1) – cena sześciu jajek po podwyżce Szukana nierówność: 8x < 6(x + 0,1)

14 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3.Jaka jest najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność -x + 4 > -3(x -1) Rozwiązujemy nierówność: -x + 4 > -3(x -1) -x + 4 > -3x + 3 -x + 3x > 3 – 4 2x > -1 | : 2 x > -0,5 Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tą nierówność jest 0.

15 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4.Wskaż wszystkie liczby całkowite spełniające jednocześnie nierówność 6x + 2  -4 oraz -5x – 23  -28. Rozwiązujemy obie nierówności: 6x + 2  -4 | x – 23  -28 | +23 6x  -6 | : x  -5 | : -5 x  x  1 Zaznaczamy wspólną część obu rozwiązań na osi liczbowej. Liczby całkowite spełniające jednocześnie obie nierówności to: -1; 0; 1.