1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.plWszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 „Jak ty rodzicom, tak dzieci tobie.”Tales z Miletu

3 TWIERDZENIE TALESA. Tales z Miletu to jeden z najwybitniejszych mędrców starożytności. Zasłynął nie tylko jako filozof ale także jako matematyk i astronom. Potrafił przewidywać zaćmienia słońca, czym prawdopodobnie przyczynił się do wyniku bitwy nad rzeką Halys. Twierdzenie Talesa przedstawione w tej lekcji to potężne narzędzie w geometrii. Tales dzięki swojej wiedzy już w VI w p. n. e. potrafił obliczać wysokość m. in. piramid tylko w oparciu o pomiar długości ich cienia…

4 TALES Z MILETU

5 ODCINKI PROPORCJONALNE.Co to oznacza, że dane odcinki są proporcjonalne? Oznacza to, że jeśli podzielimy przez siebie ich długości, to otrzymamy tę samą liczbę. PRZYKŁAD: |AB|= 0,9 |BC| = 0,4 |AD| = 1,8 |DE| = 0,8

6 ODCINKI PROPORCJONALNE.Jeżeli zachodzi powyższa proporcja, to o odcinkach AD I DE mówimy, że są proporcjonalne do odcinków AB i BC.

7 TWIERDZENIE TALESA. Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta. m || n

8 PROPORCJE WYNIKAJĄCE Z TWIERDZENIA TALESA.

9 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą x.Rozwiązujemy proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: 2,4 ∙ 3,5 = 1 ∙ x x = 8,4

10 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą a.Rozwiązujemy proporcję wynikającą z twierdzenia Talesa: 2 ∙ (2 + 6) = 2a 16 = 2a a = 8

11 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą y. 25 ∙ (y + 30) = 30 ∙ 70 25y = y = 1350 | : 25 y = 54

12 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą b. W tym przypadku także „działa” twierdzenie Talesa. Układamy proporcję dla odpowiednich odcinków. 12 ∙ 7 = b ∙ 6 6b = 84 | : 6 b = 14

13 PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 5. Oblicz długość odcinka oznaczonego literą z. 8 ∙ (13 + z) = (9 + z) ∙ z = z 8z – 10z = 90 – z = -14 | : (-2) z = 7

14 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.Dowód tego twierdzenia jest dość prosty. Opiera się na dwóch faktach: Pola trójkątów, które mają wspólną podstawę i równe wysokości, są takie same. 2. Stosunek pól trójkątów, które mają taką samą wysokość, jest równy stosunkowi ich podstaw.

15 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.Trójkąty ADB i DEB mają wspólną wysokość h1. Zgodnie z podanymi powyżej faktami zachodzi: k || l PΔADB PΔDEB b d =

16 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.Trójkąty ADB i DCB mają wspólną wysokość h2. Analogicznie: k || l PΔADB PΔDCB a c =

17 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.Godnie z pierwszym faktem zachodzi: k || l PΔDEB = PΔDCB Mamy zatem: PΔADB PΔDEB = b d PΔADB PΔDCB = a c PΔDEB = PΔDCB

18 DOWÓD TWIERDZENIA TALESA.Po uporządkowaniu dostajemy: , zachodzi więc równość: co kończy dowód. PΔADB PΔDCB = a c PΔADB PΔDEB = b d = a c = b d

19 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1.Maszt rzuca cień długości 164 m. Na maszcie umieszczono anteny stacji nadawczych telefonii komórkowej. Najniżej umieszczona antena jest na wysokości 15m nad ziemią. Cień anteny zaczyna się w odległości 12m od masztu. Jak wysoki jest maszt? Rozwiązanie najlepiej zacząć od wykonania rysunku pomocniczego

20 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 – ciąg dalszy.Zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzi równość: Rozwiązujemy proporcje: 15 ∙ 164 = x ∙ 12 12x = 2460 |: 12 x = 205 (m) Odpowiedź: Maszt ma 205 m wysokości.

21 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2.Przy drodze rosło samotne drzewo. Aby poznać jego wysokość, uczniowie dokonali odpowiednich pomiarów. Następnie, korzystając ze schematu, obliczyli jego wysokość. Przedstaw ich obliczenia. Uzyskane przez gimnazjalistów pomiary: długość cienia drzewa – 5,6 m długość cienia Basi – 1,4 m wzrost Basi – 1,7 m

22 PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy.Zgodnie z twierdzeniem Talesa zachodzi proporcja: Po podstawieniu danych otrzymujemy: 1,7 ∙ 5,6 = x ∙ 1,4 1,4x = 9,52 |: 1,4 x = 6,8 Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 6,8 m.