1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.plWszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 TWIERDZENIE COSINUSÓW

3 i cosinusa kąta zawartego między nimi.W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi. C γ b a α A β c B Oznaczenia trójkąta w rozwiązywanych zadaniach są takie same: naprzeciw wierzchołka A jest bok długości a; naprzeciw wierzchołka B bok długości b; naprzeciw wierzchołka C jest bok długości c.

4 Przykład 1. Oblicz długość nieznanego boku w trójkącie ABC jeżeli: a) lub odpada Długość nieznanego boku równa się

5 b) lub odpada Długość nieznanego boku równa się

6 c) lub odpada Długość nieznanego boku równa się

7 Wyznacz miary kątów trójkąta, wiedząc, że: a=10cm, b=8cm, c=6cm.Przykład 2. Wyznacz miary kątów trójkąta, wiedząc, że: a=10cm, b=8cm, c=6cm. Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami b i c.

8 Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie wynoszą: 90°, 53°, 37°.Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami a i c. Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°. Obliczamy miarę trzeciego kąta w trójkącie. Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie wynoszą: 90°, 53°, 37°.

9 Przykład 3. Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A=(-2,3) B=(1,0) C=(6,3). Wyznacz długości boków i miary kątów wewnętrznych w trójkącie ABC. A Obliczamy długości boków trójkąta ABC, wykorzystując wzór na długość odcinka. b C c a B

10 Wykorzystując twierdzenie cosinusów wyznaczamy miary kątów wewnętrznych w trójkącie.

11 Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie ABC wynoszą: 45°, 104°, 31°.Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°. Obliczamy miarę trzeciego kąta w trójkącie. Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie ABC wynoszą: 45°, 104°, 31°.

12 Znajdź kąt między prostymi k i l o równaniach: k: y=x l: y=-x+4Przykład 4. Znajdź kąt między prostymi k i l o równaniach: k: y=x l: y=-x+4 Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego obydwu prostych. Tworzymy układ równań:

13 Wybieram dowolne dwa punkty – jeden należący do jednej prostej, drugi należący do drugiej prostej.Łącząc te punkty otrzymujemy trójkąt ABC, w którym kąt wewnętrzny α jest jednocześnie kątem między prostymi k i l. Obliczam długości boków trójkąta ABC.

14 Odp: Kąt między prostymi ma miarę 90˚.Wykorzystując twierdzenie cosinusów wyznaczamy miarę kąta przy wierzchołku A. Odp: Kąt między prostymi ma miarę 90˚.