1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.plWszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Z PARAMETREM

3 Zajmiemy się rozwiązaniem układu równańz PARAMETREM. Parametr to dowolna liczba rzeczywista, od której zależy liczba rozwiązań układu równań. Przykład 1. Rozwiąż układ równań w zależności od parametru k.

4 Obliczamy wyznaczniki dla układu równań.W=Wx=Wy=0

5 Układ równań jest równoważny jednemu z tych równań (npUkład równań jest równoważny jednemu z tych równań (np. drugie równanie otrzymujemy przez pomnożenie obu stron pierwszego równania przez Wystarczy rozważyć jedno równanie, np. pierwsze.

6 Dla k ≠ 0 podstawiając za y dowolną liczbę rzeczywistą otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań.Układ równań wtedy ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Dla k = 0 otrzymujemy równanie: Jest to równanie nieprawdziwe. Układ równań jest sprzeczny.

7 Przykład 2. Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru k. Obliczamy wyznaczniki.

8 Rozważyć musimy dwa przypadki:Wyznacznik W = 0 więc układ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań albo nie ma wcale. Rozważyć musimy dwa przypadki: PRZYPADEK 1. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań jeżeli: Wx = i Wy = 0 -150+6k= k-50=0 6k= k=50 k= k=25 Dla k=25 układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

9 Układ nie ma rozwiązań jeżeli: Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0 -150+6k ≠ 0 2k-50 ≠ 0 PRZYPADEK 2. Układ nie ma rozwiązań jeżeli: Wx ≠ lub Wy ≠ 0 -150+6k ≠ k-50 ≠ 0 6k ≠ k ≠ 50 k ≠ k ≠ 25 Dla k ≠ 25 układ równań nie ma rozwiązań, jest sprzeczny.

10 Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru k układ równań jest nieoznaczony? Obliczamy wyznaczniki.

11 Układ jest nieoznaczony gdy spełnione są warunki:W= i Wx= i Wy=0 2k–1= k∈R k-4=0 2k= k=4 k=0, k=0,5 Dla k=0,5 układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony).

12 Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru k układ równań jest oznaczony? Obliczamy wyznaczniki.

13 Układ równań jest oznaczony gdy spełniony jest warunek:k ≠ ½ i k ≠ -½ Dla k ∈ R\{- ½; ½ } układ równań ma jedno rozwiązanie.

14 Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru k układ równań jest sprzeczny?. Obliczamy wyznacznik W oraz wyznaczniki: Wx, Wy, Wz. W= W = = 0

15 Wx = Wx = k-6k =1-k Wy = Wy = k k+273=19k-19

16 Wz = Wz = 4k k=7k-7 Wyznacznik W ma wartość 0, natomiast wyznaczniki Wx, Wy, Wz są zależne od parametru k.

17 Układ równań nie posiada żadnych rozwiązań jeżeli: Wx≠0 lub Wy≠0 lub Wz≠0.Wx ≠ ∨ Wy ≠ ∨ Wz ≠ 0 1- k ≠ k-19 ≠ k-7 ≠ 0 k ≠ k ≠ k ≠ 1 Dla k ≠ 1 wszystkie wyznaczniki są różne od zera, wtedy układ równań jest sprzeczny.