1 Mecánica de MaterialesEsfuerzo Normal Esfuerzo Cortante Semana
2 Presentación del cursoEvaluación: Tarea 1 10% Tarea 2 10% Examen de Medio Curso 25% Tarea 3 10% Producto Integrador de Aprendizaje 10% Examen Ordinario 25%
3 Mecánica Mecánica Parte de la física que estudia el movimiento y el equilibrio de los cuerpos, bajo la acción de fuerzas. Mecánica de fluidos Mecánica de cuerpos indeformables o rígidos Mecánica de cuerpos deformables Mecánica de materiales Parte de la mecánica que estudia los esfuerzos y deformaciones de los cuerpos bajo cargas axiales, torsionales y de flexión.
4 Fundamentos La mecánica de los cuerpos deformables es una disciplina básica en muchos campos de la ingeniería. Para el diseño confiable de cualquier estructura o máquina se requiere conocer el comportamiento de los materiales al someterlos a diferentes tipos de cargas.
5 Objetivo Analizar los diferentes tipos de esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos que pueden aparecer en los elementos de una máquina para que el estudiante los distinga y calcule.
6 Introducción La mecánica de materiales amplía el estudio que se inició en la mecánica vectorial (estática y dinámica), pero existe una diferencia obvia entre ambas. El campo de la estática abarca las relaciones entre las fuerzas que actúan en un sólido indeformable. Mientras que la mecánica de materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas externas aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos, además, no supone que los sólidos son indeformables, sino que las deformaciones, por pequeñas que sean, son de gran interés.
7 Fuerzas internas Son fuerzas de reacción en el interior de los cuerpos las cuales actúan para equilibrarlo y evitar que se deforme bajo la acción de cargas externas. Dichas deformaciones se reflejan en esfuerzos dentro del material.
8 Cargas externas que se pueden aplicar a un material.Tensión. Compresión.
9 Cargas externas que se pueden aplicar a un material.Corte. Torsión. Flexión.
10 ¿Tipo de carga que soporta cada elemento en la prensa?Cargas externas ¿Tipo de carga que soporta cada elemento en la prensa?
11 Las cargas se pueden ordenar de las siguientes maneras:Cargas externas Las cargas se pueden ordenar de las siguientes maneras: Por su posición o distribución Concentradas Distribuidas Uniformes No Uniformes Por la rapidez de aplicación Estáticas Impacto Fatiga La mayoría de los cuerpos están sometidos a la acción de varios fuerzas combinadas al mismo tiempo.
12 Consideraciones Los análisis que se han hecho para determinar los esfuerzos en los materiales, debido a diferentes cargas, se limitan por varias consideraciones que se hicieron en la deducción de las fórmulas matemáticas utilizadas.
13 Consideraciones para cargas axialesEl elemento es rectilíneo. La sección transversal es constante. La carga es axial, estática y central. El elemento es homogéneo y de un solo material.
14 Esfuerzo normal de tensiónEsfuerzo resultado de la aplicación de cargas perpendiculares a la sección transversal del elemento. El análisis de cargas y deformaciones resultan en una ecuación para el cálculo de esfuerzos normales debidos a cargas axiales de tensión: 𝝈= 𝑷 𝑨
15 Esfuerzo normal compresiónSi la carga aplicada es axial pero de compresión, el análisis de cargas y deformaciones resultan en una ecuación para el cálculo de esfuerzos normales debidos a cargas axiales de compresión: 𝝈=− 𝑷 𝑨
16 Esfuerzo normal de contactoEsfuerzo resultado de la aplicación de cargas perpendiculares a la sección transversal de contacto. El análisis de cargas y deformaciones resultan en una ecuación para el cálculo de esfuerzos normales debidos a cargas axiales de contacto: 𝝈 𝒃 = 𝑷 𝑨 𝒑
17 Esfuerzo normal de contactoEjemplos de esfuerzo de contacto o aplastamiento. 𝝈 𝒃 = 𝑷 𝑨 𝒑
18 Sistema internacional:Unidades Sistema internacional: Fuerza (𝑁) (𝑁) Área ( 𝑚 2 ) ( 𝑚𝑚 2 ) Esfuerzo (𝑃𝑎) (𝑀𝑃𝑎) Sistema inglés: Fuerza (𝐿𝑏) (𝑘𝑖𝑝𝑠) Área ( 𝑖𝑛 2 ) ( 𝑖𝑛 2 ) Esfuerzo (𝑝𝑠𝑖) (𝑘𝑠𝑖)
19 Ejemplo 1 Un contratista fija, por la noche, un cable de acero a una armella sujeta a un compresor. Con la pluma de su grúa lo eleva a una altura segura para evitar que sea dañado. Si el compresor pesa 600Lb y el cable de acero tiene un diámetro de 3/16in. Determine el esfuerzo normal en el cable. 𝝈= 𝑷 𝑨 𝑃=600𝐿𝑏 𝐴= 𝜋 𝑑 2 4 𝐴= 𝜋 = 𝑖𝑛 2 𝜎= 600𝐿𝑏 𝑖𝑛 2 =21, 𝑝𝑠𝑖 𝝈=𝟐𝟏,𝟕𝟐𝟗.𝟗𝟓𝟒𝒑𝒔𝒊
20 Ejemplo 2 El obelisco de Washington se eleva a 555ft de altura y fue construido con más de 36,000 bloques de granito y mármol. Pesa 181,200kips y en su base, que es un cuadrado de 665.5in por lado, tiene paredes sólidas de 180in de espesor. Calcule el esfuerzo normal que ejerce el monumento, en su base. 𝝈=− 𝑷 𝑨 𝑃= 181 ′ 200,000𝐿𝑏 𝐴= 𝐿 2 − 𝐿−2∗𝑒 2 𝐴= − −2∗ =349,560 𝑖𝑛 2 𝜎=− 181 ′ 200,000𝐿𝑏 349,560 𝑖𝑛 2 𝝈=−𝟓𝟏𝟖.𝟑𝟔𝟓𝒑𝒔𝒊
21 Ejemplo 3 Una viga rígida AB, de 3 m de longitud total, que se mantiene por barras verticales en sus extremos, y soporta al mismo tiempo una carga hacia abajo de 60KN. Los diámetros de las barras de suspensión de acero son d1=25mm y d2=20mm. Si la carga está en x=1m, ¿cuál es el esfuerzo en cada barra de suspensión? 𝑀 𝐴 =− 𝑃 2 3 =0 𝑃 2 =20𝑘𝑁 𝐹 𝑦 =+ 𝑃 1 −60+20=0 𝑃 1 =40𝑘𝑁 𝜎= 𝑃 𝐴 = 20,000𝑁 𝜋 𝜎= 𝑃 𝐴 = 40,000𝑁 𝜋 𝝈=𝟔𝟑.𝟔𝟔𝟏𝑴𝑷𝒂 𝝈=𝟖𝟏.𝟒𝟖𝟕𝑴𝑷𝒂
22 Ejemplo 4 Una viga rígida AB, de 3 m de longitud total, que se mantiene por barras verticales en sus extremos, y soporta al mismo tiempo una carga hacia abajo de 60KN. Los diámetros de las barras de suspensión de acero son d1=25mm y d2=20mm. ¿A qué distancia x se debe colocar la carga, de modo que ambas barras de soporte tengan el mismo esfuerzo? 𝜎= 𝑃 1 𝐴 1 = 𝑃 2 𝐴 2 𝜎= 𝑃 1 𝜋 = 𝑃 1 𝜋 𝑃 = 𝑃 𝑃 = 𝑃 𝑃 2 =0.64 𝑃 1 𝐹 𝑦 =+ 𝑃 1 −60+ 𝑃 2 =0 + 𝑃 1 − 𝑃 1 =0 𝑃 1 =36.585𝑘𝑁 𝑃 2 =23.415𝑘𝑁 𝑀 𝐴 =−60 𝑥 =0 𝒙=𝟏.𝟏𝟕𝒎
23 Ejemplo 5 Las barras AB y BC tienen un diámetro de 4 mm y 6 mm respectivamente. Si la carga vertical de 8KN se aplica al anillo en B. Determine el ángulo de la barra de BC de manera que el esfuerzo normal en ambas barras sea la misma. 𝐹 𝑥 =− 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =0 + 𝑃 𝐵𝐶 =+ 𝑃 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑃 𝐴𝐵 =+ 𝑃 𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 9 4 =+ 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 4 9 𝜎= 𝑃 𝐴𝐵 𝐴 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐵𝐶 𝐴 𝐵𝐶 𝜎= 𝑃 𝐴𝐵 𝜋 = 𝑃 𝐵𝐶 𝜋 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐵𝐶 𝑃 𝐴𝐵 36= 𝑃 𝐵𝐶 16 𝑃 𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴𝐵 𝜽=𝟔𝟑.𝟔°
24 Consideraciones para cargas cortantesEl elemento es rectilíneo. La sección transversal es constante. La carga es transversal y estática. El elemento es homogéneo y de un solo material.
25 Esfuerzo cortante simpleCuando las cargas aplicadas son paralelas a la sección transversal del elemento, el análisis de cargas y deformaciones resultan en una ecuación para el cálculo de esfuerzos cortantes debidos a cargas axiales de corte: 𝝉= 𝑽 𝑨
26 Esfuerzo cortante doble𝝉= 𝑽 𝟐𝑨
27 Esfuerzo cortante múltiple𝝉= 𝑽 #𝑨
28 Ejemplo 6 The figure shows the union of a truss and the base of a wooden armor. Slighting the friction: a) Determine the dimension b if the acceptable shear stress is 900KPa. b) Calculate the dimension c if the bearing stress should not exceed 7MPa. R: 0.32m, 0.041m
29 Ejemplo 7 Two pieces of wood, with a thickness of 7/8in and 6in wide each of them, are pasted with glue as shown in the figure. Knowing that the union will fail when the shear stress in the glue reaches 120psi. Find the minimum permissible length (d) on the cuttings if the joint should support an axial load of P=1200Lb. R: 1.632in
30 Ejemplo 8 The shackle of the anchor cable supports the force of 600Lb. If the pin has a diameter of 0.25in. Determine the shear stress at the pin. R: psi
31 Ejemplo 9 Three steel plates, with 5/8in of thickness each, are joined by two rivets of ½in each: a) If the load is P=10kips, which is the maximum bearing stress acting on the rivets? b) If the maximum shear stress that the rivets can support is 32ksi, what is the force P required to fail by shear? R: 16ksi, kips
32 Ejemplo 10 A screw, with an outer diameter of 22.2mm and 18.6mm at the bottom of the thread, hold two pieces of wood. The nut is tightened up to a force of 34kN in the screw: a) Calculate the shear stress at the head and at the thread of the screw. b) Determine the outer diameter of the washers if the inner diameter is 28mm and the admissible bearing stress in the wood is 6MPa. R: MPa, MPa, mm
33 Deformación unitaria Cuando un cuerpo sólido se expone a cargas externas se deforma, es decir presenta cambios en su tamaño o forma. El término deformación es general e incluye tanto cambios de longitudes como de ángulos. Para definir la deformación unitaria se examina el caso de carga axial, donde la deformación unitaria es la relación del alargamiento entre la longitud original. 𝜺 (𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎)
34 𝜀= 𝛿 𝐿 Deformación unitaria 𝜀= 𝐿 ′ −𝐿 𝐿 𝛿= 𝐿 ′ −𝐿 𝐿′=𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝜀= 𝐿 ′ −𝐿 𝐿 𝜀= 𝛿 𝐿 𝛿= 𝐿 ′ −𝐿 𝐿′=𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐿=𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝛿=𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
35 Gráfico Esfuerzo – Deformación
36 Gráfico Esfuerzo – Deformación
37 Módulo de elasticidad o módulo de Young (E)Relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria en la zona elástica de la curva ingenieril. 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑚=𝐸 𝑨𝒄𝒆𝒓𝒐 𝟐𝟎𝟎𝑮𝑷𝒂 𝑨𝒍𝒖𝒎𝒊𝒏𝒊𝒐 𝟕𝟎𝑮𝑷𝒂 𝑩𝒓𝒐𝒏𝒄𝒆 𝟖𝟑𝑮𝑷𝒂 𝑬= 𝝈 𝜺
38 𝜹= 𝑷𝑳 𝑬𝑨 𝜀= 𝜎 𝐸 𝐸= 𝜎 𝜀 𝜀= 𝛿 𝐿 𝛿 𝐿 = 𝜎 𝐸 𝜎= 𝑃 𝐴 𝛿 𝐿 = 𝑃 𝐸𝐴Deformación Para el caso de carga axial, la deformación se deduce de la siguiente manera: 𝐸= 𝜎 𝜀 𝜀= 𝜎 𝐸 𝜀= 𝛿 𝐿 𝛿 𝐿 = 𝜎 𝐸 𝜎= 𝑃 𝐴 𝛿 𝐿 = 𝑃 𝐸𝐴 𝜹= 𝑷𝑳 𝑬𝑨
39 Ejemplo 11 A bar of aluminum with constant cross section of 160mm2 supports a few axial forces applied in the points that indicates the figure. If the modulus of elasticity of the aluminum is 70GPa, determine the entire lengthening or shortening of the bar (there is no bend of this element). R: 3.75mm
40 Ejemplo 12 A wire of steel of ¼in of diameter and 4.8ft in length is held to a load of tension of 750Lb, knowing that E=29x106psi, determine: a) The elongation of the wire. b) The corresponding normal stress. R: 0.03in, 15, psi
41 Ejemplo 13 A circular bar of copper is subjected to the axial loads that are shown in the figure. Determine the displacement of the extreme A with respect to the D, if the diameters of each segment are dAB=0.75in, dBC=1in and dCD=0.5in. ECu=18,000ksi. R: 0.11in
42 Ejemplo 14 A circular hollow steel column, with a modulus of elasticity of 210GPa, is subjected to a compressive load of 500kN, the column has a length of 2.5m, and an outer diameter of 200mm. If the permissible compressive stress is 55MPa and the allowable shortening in the column is 0.6mm, what is the required thickness for the wall? R: mm
43 Ejemplo 15 A rigid girder AB is supported by two vertical bars in its ends and it supports a vertical downwards load in C of 60kN, the diameter of the left bar is of 25mm. Both bars are of steel with E=210GPa. Do not take in account the weight of the girder AB. If is observed that (δB =2δA) a) Which is the diameter of the right bar? b) Which is the corresponding displacement in the point of the load C? R: mm, 1.552mm
44 Torsión En este curso se estudia el problema de torsión y sus aplicaciones, pero sólo en elementos de sección circular. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla. En la deducción de las fórmulas de torsión se establecieron varias consideraciones que se pueden demostrar matemáticamente, y algunas otras experimentalmente.
45 Consideraciones para torsiónLas secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones planas permanecen planas y no se doblan después de la torsión.
46 Consideraciones para torsiónLa proyección, sobre la sección transversal, de una línea radial permanece radial después de la torsión. El elemento está sometido a la acción de pares torsionales que actúan en planos perpendiculares a su eje.
47 Consideraciones para torsiónLos esfuerzos no sobrepasan los límites de proporcionalidad. Las cargas aplicadas son paralelas a la sección transversal del elemento, generando así un par torsional que deforma al elemento cilíndrico.
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49 Esfuerzo cortante debido a torsiónSe deduce así la fórmula de esfuerzo cortante de torsión: 𝝉= 𝑻𝝆 𝑰𝒑 𝐼𝑝 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝜋 𝑑 4 32 𝐼𝑝 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜 = 𝜋 𝐷 4 − 𝑑
50 Esfuerzo cortante debido a torsiónPara ejes macizos, la fórmula de esfuerzo cortante máximo de torsión queda: 𝝉 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔𝑻 𝝅 𝒅 𝟑 Para ejes huecos, la fórmula de esfuerzo cortante máximo de torsión queda: 𝝉 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔𝑻𝑫 𝝅 𝑫 𝟒 − 𝒅 𝟒
51 Deformación debida a torsiónLa deformación debida a torsión tiene una analogía con la deformación debida a cargas axiales. Esta se muestra en la siguiente fórmula: 𝜽= 𝑻𝑳 𝑰𝒑𝑮 Donde G es el módulo de elasticidad a corte, Ip es el momento polar de inercia y la deformación angular está dada en radianes.
52 Potencia En muchas aplicaciones prácticas los elementos cilíndricos se utilizan para transmitir potencia, por un par constante a una velocidad angular determinada. 𝑷=𝑻𝝎 De aquí que el par tosional se pueda calcular a partir de la potencia de la máquina que mueva al elemento cilíndrico (motor eléctrico, impulsor mecánico, etc). 𝑻= 𝑷 𝝎
53 Ejemplo 16 For the hollow shaft and the load shown in the figure, determine: a) The maximum shear stress. b) The diameter of a solid shaft so that the maximum shear, under the shown load, is the same as for part a). R: MPa, mm
54 Ejemplo 17 A copper pipe has an outer diameter of 2.5in and an inner diameter of 2.3in. If it is firmly clamped in the wall in C and are applied three moments of torsion as shown in the figure, determine the shear developed in the A and B points. These points are located on the elements of volume located in A and B. R: 3.447Ksi, 2.758Ksi
55 Ejemplo 18 An uniform steel shaft with 1in of diameter and G=12Mpsi is supported by rolling bears and its function is to transmit torsion from the gear in B to the other gears in A and C as shown in the figure. Calculate: a) The maximum shear stress in the element (1) or segment AB. b) The maximum shear stress in the element (2) or segment BC. c) The relative rotation between the ends (in grades). R: 4.074Ksi, 6.111Ksi, °
56 Ejemplo 19 When you remove a wheel, to change a tire, must apply forces P=100N at the end of the arms of a key cross. The key cross is made of steel, with a shear modulus of elasticity G=78GPa. Each arm has 225mm in length and a circular cross section with a diameter d=12mm. Determine: a) The maximum shear in the arm that is turning the nut (arm A) b) The torsion angle in the same arm (in degrees). R: MPa, 3.653°
57 Ejemplo 20 Find the length of a rod of bronze with a diameter of 2mm if it has to turn two total turns without surpass the admissible shear stress of 70MPa. Use G=35GPa. R: 6.283mm