1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 1 r
2 (jak rodziła się mechanika nieba i gdzie jest obecnie)Trochę dłuższy wstęp (jak rodziła się mechanika nieba i gdzie jest obecnie)
3 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemKiedy Układ Słoneczny był Wszechświatem 1 0o - 30o LU.HUN.GA - Najemnik Aries Baran 2 30o - 60o GU.AN.NA - Byk Niebios Taurus Byk 3 60o - 90o MAS.TAB.BA.GAL.GAL/TUR.TUR - Bliźnięta Małe i Wielkie Gemini Bliźnięta 4 90o - 120o AL.LUL - Krab Kancer Rak 5 120o - 150 UR.MAH - Lew ( Regulusa zwano Królem ) Leo Lew 6 150o -180o AB.SIN [bruzda] - Kłos Virgo Panna 7 180o - 210o ZI.BA.AN.NA - Waga Libra Waga 8 210o - 240o GlR.TAB - Skorpion Scorpius Skorpion 9 240o - 270o PA.BIL.SAG. - Strzelec Sagittarius Strzelec 10 270o - 300o SUHUR.MAS. - Koziorożec Capricornus Koziorożec 11 300o - 330o GULA - Wodnik Aquaeius Wodnik 12 330o - 360o PSC - Ryby Pisces Ryby Pas zodiakalny (obszar nieba, gdzie obserwowano obiekty błądzące) wprowadzili astronomowie babilońscy.
4 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemTales z Miletu (627 – 540 p.n.e.) jako pierwszy (?) podaje „niemitologiczny” obraz Świata. Ziemia jest płaską płytą pływającą po ogromnym oceanie. Sklepienie niebieskie (a z nim Słońce, Księżyc, planety i gwiazdy) obraca się dookoła niej przechodząc przez podziemny ocean.
5 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemPitagorejczycy stwierdzili kulistość Ziemi, choć nie wiemy czy na podstawie obserwacji zaćmień Księżyca, czy też ze względu na to, że kształt kulisty uważali za najdoskonalszy. Ich model budowy Świata przetrwał w zarysie aż do czasów kopernikańskich: Ziemia tkwi nieruchomo w środku Wszechświata Dookoła krąży siedem sfer z przymocowanymi planetami. Całość zamknięta jest wewnątrz ósmej sfery, do której przymocowane są gwiazdy. 4. Odległości między sferami spełniają określone stosunki arytmetyczne (tak jak interwały muzyczne – muzyka sfer) Pitagoras (572 – 497 p.n.e.)
6 Kiedy Układ Słoneczny był Wszechświatem„Przyroda jest zniekształconym i niepełnym odbiciem świata materialnego” – poważne konsekwencje na następne stulecia: poszukiwanie rzeczywistego obrazu ruchu planet: prostego i jednostajnego. Świat ograniczony, jedyny, kulisty, obracający się. Bazując na takich założeniach, uczeń Platona, Eudoksos z Knidos ( p.n.e.) opracowuje model Wszechświata. Platon 427 – 347 p.n.e.
7 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemModel Eudoksosa W środku znajduje się nieruchoma Ziemia. Dookoła obracają się z różnymi prędkościami kryształowe sfery, do których przymocowane są planety, Słońce, Księżyc i gwiazdy.
8 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemDo opisu skomplikowanego ruchu planety potrzeba było kilku sfer. Eudoksos potrzebował ich 27, a Arystoteles posługiwał się aż 59 sferami. Model ten upadł już w starożytności. Nie przewidywał zmian odległości planet od Ziemi, które obserwowano jako zmiany ich jasności.
9 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemOdrzuca teorię sfer homocentrycznych i wprowadza nowy sposób składania doskonałych ruchów jednostajnych po okręgu. Używa do tego deferentów i epicykli. P Ziemia znajduje się w środku deferentu, po którym porusza się środek epicykla Z Hipparch 190 – 120 p.n.e.
10 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemTaka konstrukcja pozwalała stosunkowo dobrze odtwarzać skomplikowane ruchy planet i zmiany ich jasności. W miarę jak rosła dokładność obserwacji (a raczej dostępne były coraz dłuższe ich serie) trzeba było modyfikować ten schemat.
11 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemPtolemeusz 100 – 168 n.e. Wyjątkowo rozbudowany model deferentów i epicykli. Aby uzyskać jeszcze lepszą zgodność z obserwacjami wprowadził ekscentryk i ekwant
12 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemZiemia już nie jest w centrum. Ciągłe dążenie do opisu za pomocą ruchów jednostajnych.
13 Kiedy Układ Słoneczny był WszechświatemTa konstrukcja obowiązywała przez następne 1500 lat. Krytyka układu ptolemejskiego pojawiała się w pracach astronomów arabskich (VIII-XIV w.). Nie proponowali oni jednak istotnych zmian. Nadal wierzyli w centralnie położoną Ziemię i wszechobecny ruch jednostajny.
14 Przewrót kopernikańskiSłońce zajmuje centralne miejsce w układzie planetarnym. Kopernik świadomie nawiązuje do teorii głoszonej wcześniej przez Arystarcha z Samos (310–230 p.n.e.) Istotą przewrotu było to, że Ziemia przestaje być wyróżnionym miejscem we Wszechświecie (zasada kopernikańska). Wbrew pozorom to stwierdzenie wymagało wielkiej odwagi i otwartości umysłu. Nawet dziś nie każdy zdaje sobie sprawę z konsekwencji tego stwierdzenia (np. poszukiwanie życia w kosmosie…) Mikołaj Kopernik 1473 – 1543 r.
15 Przewrót kopernikańskiNie zrezygnował z deferentów i epicykli. Jego model wydawał się prostszy, ale nie był wyraźnie dokładniejszy w określaniu położeń planet na niebie. Jednak dużo lepiej tłumaczył obserwowane zmiany jasności planet i ich względne odległości od Słońca.
16 Narodziny współczesnej mechaniki niebaTycho Brahe prowadził niezwykle dokładne obserwacje wizualne. Ich dokładność pozwoliła Keplerowi na sformułowanie trzech praw ruchu planet. Tycho Brahe Jan Kepler
17 Narodziny współczesnej mechaniki niebaKepler wierzył w moc liczb. Zanim sformułował swoje trzy prawa próbował zbudować model Układu Słonecznego opierając się na wielościanach foremnych w następujący sposób. Na sferze wyznaczonej przez orbitę Merkurego opisujemy ośmiościan foremny. Okazuje się, że jest on wpisany w sferę wyznaczoną orbitąWenus. Na niej opisujemy dwudziestościan foremny, który okazuje się być wpisanym w sferę Ziemi Na niej opisujemy dwunastościan foremny wpisany w sferę Marsa, na niej czworościan foremny wpisany sferę Jowisza, na której opisany jest sześcian wpisany w sferę Saturna.
18 Kepler i jego prawa ruchu planetI prawo: Ruch planety wokół Słońca odbywa się po elipsie. Słońce znajduje się w jednym z dwóch ognisk elipsy Jan Kepler
19 Kepler i jego prawa ruchu planetII prawo: W równych jednostkach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola. Jan Kepler
20 Kepler i jego prawa ruchu planetIII prawo: Drugie potęgi okresów obiegu planet dookoła Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca. Jan Kepler
21 Prawo powszechnego ciążenia5 czerwca roku 1686 ukazuje się Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Prawa Keplera zostają uzasadnione fizycznie. Od tego momentu następuje gwałtowny rozwój metod analitycznych służących również badaniu ruchu planet i innych obiektów w Układzie Słonecznym Isaac Newton
22 Odkrycie Urana Herschel odkrył Urana w 1781 r. i było to ledwieSir William Hershel Herschel odkrył Urana w 1781 r. i było to ledwie jedno z wielu wielkich odkryć jakich dokonał
23 Odkrycie Neptuna 23 września 1846 w obserwatorium berlińskimJohn Couch Adams 23 września 1846 w obserwatorium berlińskim Johann Gottfried Galle odkrywa kolejną planetę Układu Słonecznego – Neptuna. Jednak to odkrycie było dokonane wcześniej na papierze – wielki sukces mechaniki nieba Johann Gottfried Galle Urbain Jean Le Verrier
24 Dalsze poszukiwania Zaczęto poszukiwania kolejnejplanety (rozwijając intensywnie metody perturbacyjne). Jednocześnie kolejne „planety” odkrywane były między orbitami Marsa i Jowisza
25 Odkrycie Plutona. Clyde Tombaugh James ChristyWeaver, H. A.; Stern, S. A.; Mutchler, M. J.; Steffl, A. J.; Buie, M. W.; Merline, W. J.; Spencer, J. R.; Young, E. F.; Young, L. A.
26 Pas Kuipera i degradacja PlutonaKuiper (1951): Pluton jest tak masywny, że w jego otoczeniu nie ma innych obiektów. Edgeworth(1943) i Leonard (1930): W okolicach Plutona znajduje się duża liczba drobnych ciał stanowiących rezerwuar komet krótkookresowych.
27 Współczesny obraz Układu Słonecznego
28 Pozasłoneczne układy planetarne - metody detekcji
29 Pozasłoneczne układy planetarne – już odkryteCoraz większy materiał obserwacyjny dla „mechaników” nieba
30 Co na wykładzie? Krzywe stożkowe, przyciąganie grawitacyjne i potencjał Zagadnienie dwóch ciał Pełne i ograniczone zagadnienie trzech ciał Zagadnienie n-ciał Formalizm newtonowski i hamiltonowski Wyznaczanie parametrów orbity Pływy Oddziaływanie spin-orbita Perturbacje Chaos i ewolucja orbity w długich skalach czasowych Pierścienie wokół planet Układy podwójne gwiazd Keplerowskie dyski akrecyjne Efekty niegrawitacyjne Literatura: Wierzbiński, S., Mechanika nieba Murray, C.D., Dermott, S.F., Solar System dynamics Tatum, J.B., Celestial Mechanics (http://www.astro.uvic.ca/~tatum/celmechs.html)
31 Krzywe stożkowe Krzywe powstające po przecięciustożka płaszczyznami tworzącymi różne kąty z podstawą A – okrąg B – elipsa C – parabola D – hiperbola
32 Krzywe stożkowe. ElipsaElipsa – krzywa zakreślana przez punkt poruszający się tak, że suma jego odległości od dwóch innych punktów (ognisk) jest stała.
33 Krzywe stożkowe. ElipsaStożek przecinamy płaszczyzną tworzącą kąt z podstawą mniejszy niż kąt między tworzącą a podstawą. Skąd wiadomo, że otrzymana krzywa jest elipsą? Dowód: Rysujemy 2 kule styczne do stożka i do figury K. PF1=PQ1 (styczne do kuli wychodzące z jednego punktu) PF2=PQ2 (j.w.)
34 Krzywe stożkowe. ElipsaWięc: PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2 Q1Q2 jest niezależne od położenia punktu P, bo jest odległością między dwoma okręgami C1 i C2 mierzoną wzdłuż tworzącej. PF1+PF2=const => K jest elipsą
35 Krzywe stożkowe. Elipsaa – wielka półoś b – mała półoś c – odległość ogniskowa e – mimośród
36 Krzywe stożkowe. ElipsaRównanie elipsy we współrzędnych prostokątnych PF1+PF2=2a
37 Krzywe stożkowe. ElipsaMożna je przekształcić do bardziej użytecznej postaci (na ćwiczeniach)
38 Krzywe stożkowe. ElipsaPodstawiając x=0 otrzymujemy punkty przecięcia elipsy z osią OY: które odpowiadają długości małej półosi. W związku z tym równanie elipsy przyjmuje postać: stąd:
39 Krzywe stożkowe. ElipsaZależność kształtu elipsy od wartości mimośrodu
40 Krzywe stożkowe. ElipsaPlaneta znajduje się w jednym z ognisk (F2) wtedy F2∏ jest odległością peryhelium: a F2A jest odległością aphelium: A∏ - linia apsyd p – parametr elipsy (otrzymujemy podstawiając x=ae w r-niu elipsy): ∏ A p F1 F2
41 Krzywe stożkowe. ElipsaKoło pomocnicze: ν – anomalia prawdziwa r – promień wodzący planety E – anomalia mimośrodowa Można pokazać, że rzędna punktu P jest równa: bsinE Wynikają stąd dwa ważne wnioski. acosE asinE M
42 Krzywe stożkowe. ElipsaPunkt, którego współrzędne spełniają równania: leży na elipsie o półosiach równych a i b. Są to równania parametryczne elipsy acosE asinE M
43 Krzywe stożkowe. Elipsa2. Dla dowolnej linii prostopadłej do wielkiej półosi: W konsekwencji stosunek pola elipsy do pola koła pomocniczego jest równy również b/a, stąd: acosE asinE M
44 Krzywe stożkowe. ElipsaWyrażenie na obwód elipsy nie daje się uzyskać równie łatwo. gdzie: Jest pełną całką eliptyczną drugiego rodzaju. Wzór przybliżony: acosE asinE M
45 Krzywe stożkowe. ElipsaRelacja między E i ν acosE asinE M skąd otrzymujemy: O a następnie związek między ν i E.
46 Krzywe stożkowe. ElipsaStyczne do elipsy W jakim punkcie prosta o r-niu przecina elipsę ? Po podstawieniu otrzymujemy r-nie kwadratowe: które po znalezieniu rozwiązania dla przypadku Δ=0 (jeden punkt styczności) pozwala uzyskać r-nie stycznej o zadanym współczynniku kierunkowym
47 Krzywe stożkowe. ElipsaStyczne do elipsy Przekształcamy r-nie stycznej Do postaci: Prostopadła do niej: Po dodaniu obu równań otrzymujemy: które (m rzeczywiste) jest spełnione dla:
48 Krzywe stożkowe. ElipsaStyczne do elipsy Otrzymane równanie opisuje koło tworzące o promieniu Możemy teraz wyprowadzić r-nie stycznej do elipsy w punkcie (x1,y1)
49 Krzywe stożkowe. ElipsaStyczne do elipsy Wybieramy dwa dowolne punkty należące do elipsy przekształcając r-nie prostej przechodzącej przez te dwa punkty i przechodząc do granicy E2-E1->0 otrzymujemy r-nie: które ostatecznie pozwala uzyskać styczną do elipsy w punkcie (x1,y1):
50 Krzywe stożkowe. ElipsaStyczne do elipsy α α Styczna do elipsy tworzy równe kąty odcinkami poprowadzonymi między punktem styczności a ogniskami (na ćwiczeniach) To prowadzi do bardzo ciekawych konsekwencji. Punkt ulegający wielokrotnym odbiciom wewnątrz elipsy „ląduje” zawsze na wielkiej półosi.
51 Krzywe stożkowe. ElipsaKierownice – dwie proste o równaniu: Korzystając z tw. Pitagorasa można pokazać, że ta własność jest nieraz używana jako definicja elipsy