1 Médias de Reynolds Energia CinéticaTurbulência III Médias de Reynolds Energia Cinética

2 Introdução Nos fenômenos que envolvem o fluxo turbulento em gases ou líquidos, um dos mais importantes é o estabelecimento de redemoinhos. O conceito de médias é convenientemente aplicado nestes casos e a energia cinética de turbulência (TKE) é a energia cinética média por unidade de massa associada aos redemoinhos no fluxo turbulento. Do ponto de vista físico, a energia cinética turbulente é caracterizada pela medida da raiz quadrática média (RMS) das flutuações de velocidade. Partindo da equação de Navier-Stokes usaremos a abordagem de médias de Reynolds para obtermos representações quando possível de regimes flutuações turbulentas envolvendo aspectos energéticos.

3 Condições de Reynolds Nas equações de Navier-Stokes e considerando as médias de Reynolds, a energia cinética de turbulência pode ser obtida baseada no método de modêlo fechado, ou seja, estabelecendo um modêlo a priore. Consideremos 𝑢 , 𝑣 e w as velocidades das variáveis de escoamento de um fluido, Neste caso, podemos quantificar a TKE por:

4 A energia cinética de turbulência pode se manisfestar e ser produzida de várias maneiras .1) Por deslizamento, fricção ou flutuação (gradientes de pressão): 2) Por forças externas produzidas pelos redemoninhos Estes efeitos ou processos de produçãp de energia cinética, com o passar do tempo podem ser dissipados por forças de viscosidade (Kolmogorov). Neste caso a TKE envolve produção, transporte e dissipação expressa como

5 A expressão completa da TKE é dada por:

6 Variação da energia cinética por unidade de massa devido a não-estacionaridedade (dependência temporal da média) Taxa de variação da energia cinética por unidade de massa devido a convecção (ou advecção) através do fluxo médio pelo campo não homogêneo Difusão devido a variações de pressão Difusão devido a turbulência Difusão devido a stress Taxa de produção de energia cinética de turbulência Taxa de dissipação de TKE por unidade de massa devido ao stress de viscosidade Fluxo de flutuabilidade

7 Vamos analisar alguns termos.1) Taxa de dissipação de TKE por unidade de massa devido ao stress de viscosidade O termo de dissipação pode ser reescrito como O termo de dissipação vem acompanhado do sinal negativo no lado direito da equação causando uma redução de TKE. Fisicamente a ener-gia é dissipada devido ao trabalho realizado pelo stress ao resistir a deformação quando o fluido está sujeito a flutuações de taxas de stress e viscosidade. O fato de (a) ser negativo ou 𝜀≥0 aplica-se a fluidos Newtonianos, onde reescrevemos a disipação como 𝜀= 𝜏 𝑖𝑗 𝑣 𝑆 𝑖𝑗

8 Micro escala de KolmogorovDefinição Obs: na atmosfera movimentos estendem-se algumas vezes da ordem de quilômetros Nesta escala de eventos torna-se complicado estabelecer medidas de stress envol- vendo viscosidade, pois os valores típicos da escala de Kolmogorov é da ordem de 0,1 a 10 milímetros. Esta é uma consequência que torna impraticável medidas de dissipação em formação de nuvens e no processo de avaliação do balanço de energia. Em simulações de laboratório a extensão dos eventos dissipativos podeser extendida pelo menos duas vezes o valor da escala de Kolmogorov. É possível relacionarmos a escala Komogorov com o número de Reynolds, isto permite fazer uma aproximação para a escala de eventos (𝐿/𝜂). A outra consequência direta- mente obtível é a escla de tempo , indicando que a dissipação ocorre rapidamente.

9 É importante observar que podemos fazer uma estimativa do termo de dissipação dada por,

10 Exemplo ar  μ = μo*(a/b)*(T/To)3/2     a = 0.555To + C     b = 0.555T + C

11 2) Produção de turbulência e TKE do movimento médio𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑢 𝑖 , obtém-se uma equação para a energia cinética do movimento médio. Logo Podemos rearranjar a equação acima, portanto,

12 2) Termos- Produção de turbulência e TKE do movimento médioTensor de deformação instantâneo Tensor de tensão Taxa de rotação média Termo de dissipação para o escoamento com viscosidade incompressível Termo de transferência de energia cinética média para energia interna (taxa de produção de energia de turbulência

13 Turbulência (transferência de calor)

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