1 MENORES Y COFACTORES

2 Menores Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden n (n≥2), el menor Mij se define como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. 1 2 3 4 7 5 6 M11 =

3 Pasos para hallar los MenoresDada la matriz A, hallar el menor M11 y describa los pasos 1.- Suprimimos la fila i y la columna j según corresponda: 2.- Formamos el determinante con los números sobrantes 3.- Hallamos el determinante

4 Ejercicios Dada la matriz A. Hallar el menor M12, M22 y M32

5 Cofactores El cofactor A i j de la entrada a i j se define como el menor M i j multiplicado por: El cofactor nos da como resultado el signo del menor.

6 Signos de los CofactoresEn una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:

7 Ejercicio Dada la matriz A, hallar los cofactores A11, A12, A22, A32MENOR COFACTOR M11 = -2 M12 = 8 M22 = 4 M32 = 0

8 Ejercicio Para la matriz A: Calcule lo siguiente:El menor de a31 b. El menor de a22 c. El cofactor de a23 d. El cofactor de a32

9 MATRIZ DE COFACTORES

10 Matriz de Cofactores Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz y se denota por AC

11 Ejercicio de Matriz de CofactoresEncontrar la matriz cofactor de:

12 Ejercicio de Matriz de CofactoresRespuesta: La Matriz cofactor de A es:

13 Ejercicio Para la matriz A: Encuentre la matriz cofactor AC

14 MATRIZ ADJUNTA

15 Matriz Adjunta La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores. Donde AC es la matriz de cofactores

16 Ejercicio de Matriz AdjuntaObtenga la matriz adjunta de A Solución

17 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

18 Determinante El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por det (A) o | A |, es un valor escalar.

19 Determinante de una matriz de orden 1Sea A=[a11] una matriz de orden 1. Se define el determinante de A, como: Ejemplo:

20 Determinante de una matriz de orden 2Cuando la matriz A es de orden 2, el determinante es: Se observa que es la diferencia de los productos de los elementos de las diagonales en el orden dado: - a21a12 + a11a22

21 Ejemplo 12 -2

22 Ejercicios Evalúe el determinante de la siguiente matriz:2. Encuentre el valor de x, si:

23 Determinante de una matriz de orden 3Cuando la matriz A es de orden 3, el determinante es:

24 Observación El determinante de una matriz A de orden n (n ≥ 2) puede calcularse multiplicando cada entrada de cualquier fila o columna por su respectivo cofactor y sumando los productos resultantes.

25 Determinantes con el uso de cofactoresCalculo del determinante usando la primera columna y sus respectivos cofactores a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = a . (-1) 1+1 + a 2+1 3+1 Calculo del determinante usando la tercera fila y sus respectivos cofactores a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 = a . (-1) 3+1 + a 3+2 3+3

26 Ejemplo Sea: Calcular el determinante de A usando cofactores

27 Ejemplo Hallar el determinante de A utilizando los cofactores de la primera columna

28 Propiedades de los determinantesSi todos los elementos de una fila (renglón) o columna de A son nulos, entonces |A| = 0. Si dos filas o columnas de A son idénticas, entonces |A| = 0.

29 Propiedades de los determinantes3. El determinante del producto de dos matrices de orden n es: |AB| = |A||B|. 4. |AT| = |A| 5. |I| = 1 Ejemplos: El determinante de la matriz I 3 = è ç æ ø ÷ ö 1 es igual a 1.

30 Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:2. Para que valor de a el determinante es cero: