1

2 Menu Jednomiany Wyrażenia algebraiczne -definicja Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Mnożenie sum algebraicznych Wzory skróconego mnożenia Przekształcanie wzorów(wyrażeń) Prawo Rozdzielności Grupowanie wyrazów

3 Wyrażenia algebraiczne Definicja Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia,w których występują liczby,litery,znaki działań i nawiasy.Z wyrażeniami spotkałeś się nie raz, choćby używając wzorów na pole, obwód, rozwiązując równanie czy nierówność Przykłady : 4,y, 7y-4x, 5(x-9) Wyrażenie możemy nazwać sumą, iloczynem, ilorazem lub różnicą. Nazwa wyrażenia powstaje od ostatniego działania, które należy wykonać, pamiętając o kolejności działań: X+10 -> suma liczb x i 10 8(y+x) -> iloczyn liczby 8 i sumy y i x n-10 -> różnica liczb n i 10 (x-y):4 -> iloraz liczb x i y przez 4

4 Jednomiany Jednomian to takie wyrażenie algebraiczne, w którym występuje pojedyńcza liczba, litera lub ich iloczyn Jedynym działaniem występującym w jednomianie jest mnożenie (PAMIĘTAJ,że potęgowanie to skrócony zapis mnożenia) np. 5, 3x, y 10, -12a 7 y 15 Liczby 5,3,1,-12 stojące na początku jednomianu nazywamy współczynnikami liczbowymi Zasady porządkowania: 1Podnosimy jednomian do potęgi 2Ustalamy znak jednomianu 3Ustalamy współczynnik liczbowy nie zważając już na znak 4Ustalamy alfabetyczne ustawienie liter Przykłady -5x 7 (-10x 15 y 3 )y: 1.Nie ma 2. ‘+’ 3. 50 4. x 7 * x 15 = x 7+15 = x 22 y 3 *y=y 3+1 = y 4 Końcowy wynik -> 50x 22 y 4

5 Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian a(b+c)=ab +ac Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Przy dzieleniu musimy zastosować prawo rozdzielności, porządkowanie jednomianu, ale również należy pamiętać o nawiasach w zapisie jednomianu, gdy ten zbudowany jest z więcej niż jednego czynnika. Przykłady : x 17 : x 5 =x 17-5 =x 12 x5:x3=xxxxx:xxx=x 2

6 Mnożenie sum algebraicznych (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Mnożenie sum algebraicznych przez wielomiany Przykład : (3ax+2)(a-x)= 3ax*a+3ax*(-x)+2*a +2*(-x)= 3a 2 x-3ax 2 +2a-2x a+b c+d

7 A) 5ax=y / : (5a) x=y:5a Dzielimy przez liczbę stojącą przy niewiadomej (5a) Pamiętaj, jednomian zapisujemy w nawiasach Podajemy zastrzeżenia a≠0 B) 3y:2xz=7 /* (2xz) 3y= 14xz / : (14z) x= 3y:14z Wzór istnieje jeśli x ≠0 i z ≠0 Po podaniu zastrzeżeń, możemy przekształcać wzór Jak przekształcić wzór? Należy najpierw wyznaczyć szukaną wielkość a następnie podstawiać dane wartości, przy wzorach musimy pamiętać o podaniu tzw. zastrzeżeń czyli jakich wartości nie może podać dana zmienna. Często wtedy spotykamy się ze zwrotem -o podaniu sensu liczbowego wyrażenia. Wszystkie wyrażenia zawierające zmienne, przez które dzielimy lub gdy znajdują się w mianowniku muszą być różne od 0. Wyznaczając niewiadomą,traktujemy resztę zmiennych jakby były dane.

8 Wzory skróconego mnożenia służą do szybkiego wykonywania niektórych działań, ale także zmiany sumy na iloczyn, rozwiązywania równań, nierówności, zadań tekstowych. Kwadrat sumy (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. Kwadrat różnicy (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie, plus kwadrat drugiego wyrażenia. Iloczyn sumy przez różnicę (a+b)(a-b)= a 2 – b 2 Iloczyn sumy dwóch wyrażeń,przez ich różnicę jest równy różnicy kwadratów tych wyrazów.

9 Zasada: 1.Składniki zapisujemy w postaci iloczynu czynników 2.Współczynniki liczbowe rozkładamy na iloczyny 3.W każdym składniku podkreślamy jednakową liczbę identycznych czynników 4.Przed nawias wyłączamy podkreślone czynniki z jednego składnika 5.W nawiasie zostaje to co nie było podkreślone 6.Jeżeli w składniku nie zostaje nic co nie było by podkreślone, to w nawiasie piszemy 1. 7.Pamiętaj, wyłączamy największy wspólny czynnik. Przykłady : 4x 5 –6x 7 = 2*2 *x*x*x*x*x – 2*3*x*x*x*x*x*x*x= 2xxxxx(2- 3xx)= 2x 5 (2-3x 2 )

10 Wyrażenia 4a+4x+a 2 +ax nie można zamienić żadną z poprzednich metod, ale wyrazy można połączyć w pary, w których to dokonujemy zamiany na iloczyn. Dobieramy tak pary,aby w każdej otrzymać identyczny czynnik np. 4a+4x+a 2 +ax= (4a+ 4x)+ (a 2 + ax)= 4(a+x) + a(a+x)= (a+x)(4+a) Z taką postacią sumy mieliśmy już do czynienia przy wyłączaniu wspólnego czynnika przed nawias. Można też pogrupować wyrażenie inaczej…. 4a+ 4x+ a 2 + ax=(4a + a 2 )+ (4x+ax)= a(4+a) + x(4+x)= (4 +a)(a+x) Otrzymane postacie iloczynowe są identyczne. Najważniejsze przy grupowaniu jest tak połączyć wyrazy w pary, aby jeden z czynników (suma lub różnica), był jednakowy. Metody można łączyć np.: -wpierw wyłączyć czynnik przed nawias, następnie zastosować grupowanie lub wzory skróconego mnożenia,np. 20a 2 - 45= 5(2a-3)(2a+3) 12-12y 3 +3y 6 = 3(4-4y 3 +y 6 )= 3(2-y 3 ) 2 20a 2 -4ay-5a 3 + a 2 y= a(20a –4y-5a 2 +ay) = =a[20a - 5a 2 ) + (-4y +ay)]= =a[5a(4-a)- y(4-a)]= =a[(4-a)(5a-y)]= a(4-a)(5a-y)