1 Metoda elementów skończonych dla problemów nieliniowychPiotr Chyła Kraków r.

2 Plan prezentacji Wstęp Podstawy teorii plastyczności:nieliniowości fizyczne plastyczność na poziomie punktu przekroju konstrukcji Powierzchnia plastyczności Metody rozwiązywania równań nieliniowych: Newtona bisekcji siecznych

3 Wstęp: Wykorzystanie analizy nieliniowej MES pozwala na: projektowanie konstrukcji bezpiecznych, niezawodnych produktów, przygotowanie efektywnych procesów wytwarzania.

4 Wstęp: ŹRÓDŁA NIELINIOWOŚCI W MECHANICE KONSTRUKCJI: Nieliniowości natury geometrycznej: • skończone odkształcenia i deformacje • skończone obroty • stateczność (wyboczenie) • obciążenia wstępne

5 Wstęp: Nieliniowości materiałowe: • plastyczność, uszkodzenie materiału i mechanizmy zniszczenia, • zależność właściwości materiałów od temperatury, zmiennych stanu oraz zmiennych zależnych od rozwiązań.

6 Wstęp: Zwiększająca się potrzeba przeprowadzania analizy nieliniowej wynika z: • wykorzystywania coraz bardziej złożonych materiałów, • realistycznego modelowania procesów poprzez uwzględnienie coraz to większej ilości zjawisk, • zaawansowanej analizy dużych modeli zamiast modelowania poszczególnych jego części.

7 Podstawy teorii plastyczności:W teorii ciał idealnie plastycznych definiujemy plastyczne płynięcie jako proces, w którym naprężenia nie zależą od skali czasu. Wynika z tego, że pojawienie się deformacji plastycznych jest uwarunkowane spełnieniem zależności: Jeżeli ponadto przyjmiemy założenie, że:

8 Podstawy teorii plastyczności:Będziemy mogli wykazać, że prędkości odkształceń plastycznych zostaną wyrażone przez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia, które można zapisać następująco: gdzie jest pewnym mnożnikiem skalarnym.

9 Podstawy teorii plastyczności:Powyższa równość pokazuje nam, że wektor prędkości odkształceń plastycznych jest prostopadły do powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. Graficznie możemy to przedstawić następująco:

10 Podstawy teorii plastyczności:Stowarzyszenie polega na tym, że funkcja odgrywa rolę potencjału dla prędkości odkształceń plastycznych . Przestawione równanie wiąże nam naprężenia z prędkościami odkształceń, ma więc sens równania fizycznego dla ciał plastycznych.

11 Nieliniowości fizyczne Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnegoWarunek plastyczności (warunek Hubera): gdzie k0 oznacza wartość graniczną plastyczności. Warunek ten jest obrazem używanego przez nas zastępczego naprężenia:

12 Nieliniowości fizyczne Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnegoOmawianą tu plastyczność rozważać będziemy na poziomie: punktu, przekroju, konstrukcji.

13 Plastyczność na poziomie punktuZnany jest nam stan naprężeń punktu {σ}, jednak istotę stanowi znalezienie stanu naprężeń w każdym punkcie. Rozważmy najpierw zachowanie materiałów nieciągliwych, kruchych. • warunek plastyczności dla betonu:

14 Plastyczność na poziomie punktuW stanie plastycznym, po przekroczeniu pewnej granicy, mimo odciążania pozostaną trwałe odkształcenia (oznaczone na rysunku jako εpl): w przypadku rozciągania omawianych materiałów pojawiają się geometryczne nieliniowości. Stan plastyczny możemy jednak sprowadzić do jednego punktu.

15 Plastyczność na poziomie przekrojuPlastyczność na poziomie przekroju możemy omówić na przykładzie symetrycznej belki. Wstępne wykresy naprężeń i odkształceń przybierają postać: Jeśli zdecydujemy się na dalsze odkształcanie belki, to otrzymamy wykres:

16 Plastyczność na poziomie przekrojuσ0 oznacza tu naprężenie sprężyste graniczne. Odkształcenia na tym etapie również są sprężyste, podobnie jak moment w przekroju, który możemy wyznaczyć ze wzoru: Odkształcając dalej:

17 Plastyczność na poziomie przekrojuOstatnim etapem jest sytuacja, gdy cały przekrój zostaje uplastyczniony: Moment w tym przekroju obliczymy ze wzoru:

18 Plastyczność na poziomie konstrukcjiPlastyczność na poziomie konstrukcji wyrazimy w obciążeniach:

19 Plastyczność na poziomie konstrukcjiAnaliza plastyczna MES wymaga: • sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu, • sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych N-R, • całkowania związków konstytutywnych, aby zmodyfikować stan naprężeń. Dla materiałów nieliniowych: gdzie:

20 Plastyczność na poziomie konstrukcjiDokonamy teraz uaktualnienia naprężeń w punkcie Gaussa: • odkształcenia iteracyjne: Obliczamy ∂d: Na podstawie powyższego wzoru wyznaczamy ∂ε: Obliczamy ∂σ: Dokonujemy modyfikacji naprężeń: gdzie σ0 jest naprężeniem przed aktualną iteracją.

21 Plastyczność na poziomie konstrukcji• odkształcenia przyrostowe: Obliczamy ∂d: Modyfikujemy przyrostowe przemieszczenia (od ostatniego stanu równowagi): gdzie Δd0 jest przyrostem przemieszczenia od ostatniej iteracji. Obliczamy przyrostowe odkształcenia: Wyznaczamy przyrostowe naprężenia: Modyfikujemy naprężenia: gdzie σ0 jest naprężeniem na końcu ostatniego przyrostu.

22 Powierzchnia plastycznościZałożenia: Materiał zachowuje się sprężyście dopóki nie osiągnie powierzchni plastyczności. Dla materiału dana jest powierzchnia plastyczności w przestrzeni naprężeń: bez wzmocnienia, (1) dla wzmocnienia, (2) gdzie σ0 – granica plastyczności w próbie jednoosiowego ściskania, κ - parametr wzmocnienia.

23 Powierzchnia plastycznościCałkowite odkształcenia jako superpozycja odkształcenia sprężystego i plastycznego. (3) gdzie: Prawo plastycznego płynięcia: a) stowarzyszone prawo plastycznego płynięcia:

24 Powierzchnia plastycznościb) niestowarzyszone prawo plastycznego płynięcia: Powierzchnia plastyczności to powierzchnia ograniczająca pole naprężeń w trakcie procesu obciążania. (6)

25 Powierzchnia plastycznościRóżniczkując powyższą zależność: (7) (8) Przyjmijmy oznaczenie: (9)

26 Powierzchnia plastycznościPo podstawieniu do (2) mamy: (10) Całkowite odkształcenie na powierzchni plastycznej: (11) przyrost odkształcenia: (12) Równania (3) i (4) w zapisie macierzowym: (13)

27 Powierzchnia plastycznościZ powyższego układu należy wyznaczyć związek konstytutywny nie zawierający nieokreślonej zmiennej dλ. W tym celu mnożąc lewostronnie równanie pierwsze przez D wyznaczamy dσ: (14) podstawiając następnie powyższe wyrażenie do drugiego równania mamy: (15)

28 Powierzchnia plastycznościI ostatecznie równanie konstytutywne dla stanu na powierzchnię plastyczności otrzymujemy jeżeli do równania (5) podstawimy dλ, i tak: (16) gdzie: (17)

29 Metody rozwiązywania równań nieliniowychJednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje sie szereg metod obliczeniowych: metoda stycznych (Newtona), metoda połowienia (bisekcji), metoda siecznych, Procedury te pozwalają uzyskać z zadaną dokładnością miejsca zerowe równania.

30 Metoda stycznych (Newtona)Obliczyć pierwiastek poniższego równania z dokładnością e =10-5. Jeżeli funkcja ta spełnia warunek f(a)*f(b) < 0, gdzie a i b to granice przedziału lokalizacji pierwiastka, to funkcja ta posiada pierwiastek w tych granicach.

31 Metoda stycznych (Newtona)Na rysunku pokazany jest sposób w jaki dążymy do wyznaczenia pierwiastka równania.

32 Metoda stycznych (Newtona)f(x) * f’’ (x) > 0 f(x) = x7 + 3x4 – 3 = 0 f’(x) = 7x6 + 12x3 = 0 f’’ (x) = 42x5 + 36x2 = 0 Wartości dla x = 0,75 i x = 1 przedstawia tabela:

33 Metoda stycznych (Newtona)Podstawiając do powyższego wzoru x = 1 oraz wartości funkcji i pierwszej pochodnej otrzymujemy wynik: Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości funkcji i pierwszej pochodnej dla x1. Podstawiając do wzoru funkcji x7 + 3x4 – 3 = 0 i pierwszej pochodnej 7x6 + 12x3 = 0 uzyskujemy wartości: f(x) = 0, f’(x) = 15,

34 Metoda stycznych (Newtona)Następnie powtarzamy czynność obliczeniową, podstawiając do wzoru nowe wartości. Uzyskany w ten sposób x2 równa się 0, Obliczona dla niego wartość funkcji i pierwszej pochodnej wynoszą odpowiednio: f(x) = 0, f’(x) = 14,

35 Metoda stycznych (Newtona)Cały tok obliczeń powtarzamy wielokrotnie uzyskując następujące wyniki: Obliczenia uznajemy za zakończone, a wynik za pierwiastek równania, gdy spełniony jest warunek: Najmniejsza wartość pierwszej pochodnej w przedziale <0,75;1> wynosi A = 6,30835. Podstawiając do wzoru :

36 Metoda bisekcji Obliczyć pierwiastek poniższego równania metoda bisekcji z dokładnością e =10−5 . 3x + sinx – ex = 0

37 Metoda bisekcji Poniższy rysunek obrazuje proces poszukiwania pierwiastków. f (0) * f (0,5) < 0 −1* 0, < 0 zatem można przystąpić do obliczenia pierwszego kroku iteracyjnego. Ogólny wzór tej metody wygląda następująco:

38 Metoda bisekcji I tak: x0 = 0 a x1 = 0,5Pamiętając cały czas, iż do powyższego wzoru wybieramy te najbliższe xi dla których wartości spełniają warunek: I tak: x0 = 0 a x1 = 0,5 Pamiętając o powyższym warunku do obliczenia x3 wybieramy x2 = 0,25 i x1 = 0,5 ponieważ iloczyn ich wartości jest ujemny. I znowu do obliczenia x4 wybieramy x3 = 0,375 i x2 = 0,25 ponieważ iloczyn ich wartości daje wynik ujemny.

39 Metoda bisekcji Powyższa sekwencje obliczeń powtarzamy do momentu uzyskania wyniku dla którego spełniony jest warunek: Reszta obliczeń została zebrana w tabeli. Pierwszy sposób zakończenia obliczeń: lub drugi sposób:

40 Metoda siecznych Obliczyć pierwiastek poniższego równania uproszczoną metodą siecznych z dokładnością e = x3 – e-x – 2 = 0

41 Metoda siecznych x1 = 1  f (1) = - 1,367879 x2 = 2,5  f (2,5) = 13,54292 f (1) * f (2,5) < 0 Następnym krokiem w obliczaniu pierwiastka równania jest znalezienie przybliżenia zerowego, które dla metody siecznych ma postać: f (x) * f``(x) < 0

42 Metoda siecznych (reguła falsi)Jak widać ze wzoru będą nam potrzebne wartości funkcji i jej drugiej pochodnej na krańcach przedziału: f(x) = x3 – e-x – 2 = 0 f`(x) = 3x2 + e-x = 0 f``(x) = 6x - e-x = 0 Do wyznaczenia kolejnych przybliżeń pierwiastka równania wykorzystamy wzór:

43 Metoda siecznych (reguła falsi)Pierwszy x1 obliczamy dla danych: podstawiając do wzoru otrzymujemy wynik: Następnie operacja sie powtarza dla nowych danych: podstawiając je do wzoru uzyskujemy wartość x2

44 Metoda siecznych (reguła falsi)Dalsze obliczenia zostały zgromadzone w tabeli: Zakończenie obliczeń:

45 Podsumowanie Obliczyć pierwiastek funkcji: x – sinx – 0,25 = 0 poznanymi metodami z dokładnością e = 10-5

46 Podsumowanie Lokalizacja miejsca zerowego: Do dalszych obliczeń przydadzą się nam formy pierwszej i drugiej pochodnej funkcji:

47 Podsumowanie – metoda NewtonaPrzybliżenie zerowe: f(x0) * f”(x0) > 0 dla przedziału <1;2>. Oba krańce przedziału mogą być przybliżeniem zerowym, do dalszych obliczeń wybieramy x0 = 2. Wykorzystując wzór: Obliczamy pierwiastek równania, tok obliczeń przedstawia poniższa tabela:

48 Podsumowanie – metoda NewtonaZakończenie obliczeń:

49 Podsumowanie – metoda bisekcjiPrzedział <1;2> Zakończenie obliczeń:

50 Podsumowanie – metoda siecznychPrzedział <1;2>, przybliżenie zerowe: f(x0) * f”(x0) < 0 Punktem startowym będzie x = 1. Tok obliczeń, przy pomocy wzoru: przedstawia poniższa tabela:

51 Podsumowanie – metoda siecznychZakończenie obliczeń:

52 Podsumowanie Wszystkie wyniki zostały wyznaczone z dokładnością e = 10-5, dokładne rozwiązanie tego równania dla y = 0 to x = 1, Wyniki uzyskane poszczególnymi metodami i błędy ich wyznaczenia względem wartości prawdziwej zostały zgromadzone w poniższej tabeli:

53 Podsumowanie Widać, iż najbardziej dokładna metoda jest metoda Newtona, a ponadto wynik uzyskuje się w kilku krokach iteracyjnych. Najmniej dokładną i najbardziej pracochłonną z metod jest metoda bisekcji, różnica między wynikiem uzyskanym najdokładniejszą metodą a najmniej dokładną jest ponad sto razy większa.

54 Dziękuję za uwagę