1 Metoda różnic skończonych I-zagadnienia stacjonarne, problemy liniowe Anna Ługiewicz Elżbieta Ligocka

2 Metoda różnic skończonychJest to jedna z najstarszych metod numerycznego rozwiązywania zagadnień przez układy równań różniczkowych. Polega na zastąpieniu pochodnych występujących w tych równaniach przez odpowiednie ilorazy różnicowe. Trudności w zastosowaniu tej metody wiążą się z warunkami brzegowymi.

3 Warunki brzegowe Dirichleta u(x,y) = g(x,y) dla (x,y)єS Neumanna ∂u(x,y)/∂n = g(x,y)

4 Wzór Taylora Pochodne funkcji, które będą zastąpione różnicami można wyznaczyć za pomocą rozwinięcia szeregu Taylora:                

5 Wyznaczenie pierwszej pochodnej centralnej

6 Wyznaczenie drugiej pochodnej centralnej

7 Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych:3 podstawowe kroki: Podział regionu na siatkę węzłów Przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne równania różnicowe Rozwiązanie układu równań

8 Równanie i zagadnienia brzegowe

9 1: Dyskretyzacja przedziału Podział przedziału na n-1 podprzedziałów postaci siatką węzłów xi i=1,2,…,n-1 gdzie x1=a i xn=b

10 2: Numeryczna aproksymacja funkcji uAproksymacja rozwiązania funkcji u na węzłach siatki: ui=u(xi) i=1,2,…,n Nie szukamy już u(x), tylko wartości funkcji u w węzłach siatki: u1, u2, …, un

11 3: Aproksymacja pochodnychAproksymacja pochodnych różnicami skończonymi:

12 4: Aproksymacja dyskretna równania (1)Równanie różniczkowe (1) ma być spełnione w węzłach:

13 5: Podstawienie warunków brzegowychu1=ua un=ub

14 Po podstawieniu przybliżonych wyrażeń na pochodne:

15 Zastosowanie kroków 1-5 daje układ równań:

16 Postać macierzowa A·u=b A-macierz współczynników u-wektor niewiadomych b-wektor prawych stron u=A-1·b

17 Postać macierzowa

18 Postać macierzowa

19 Dziękujemy za uwagę