1 Metoda zmiennych instrumentalnych i uogólniona metoda momentówWykład 14

2 Literatura B. Hansen (2013) Econometrics, strona internetowa autora

3 Problem endogenicznych zmiennych objaśniającychZmiany stóp procentowych  zmiany kursu walutowego  zmiany stóp procentowych Dynamika kredytu  wzrost gospodarczy  dynamika kredytu Inwestycje OFE (zmiana portfeli OFE)  zmiany cen akcji  zmiana portfeli OFE

4 Problem endogenicznych zmiennych objaśniającychRównanie „strukturalne”: x – wektor k-elementowy Estymator KMNK obciążony Rozwiązanie: MZI lub UMM

5 Zmienne instrumentalneWykorzystanie zmiennych instrumentalnych, tzn. skorelowanych ze zmiennymi endogenicznymi ale nieskorelowanych z e: Zwykle część zmiennych jest egzogeniczna: …i może zostać zaliczona do zmiennych instrumentalnych:

6 Zmienne instrumentalnePrzykłady: Naturalne instrumenty (np. przelewy z ZUS do OFE) Opóźnione zmienne endogeniczne Identyfikacja przez heteroskedastyczność

7 Zmienne instrumentalneJeżeli , to model „jednoznacznie identyfikowalny” (just-identified) Jeżeli , to model „przeidentyfikowany” (over-identified)

8 Uogólniona metoda momentówGeneralized method of moments (GMM) Przykładowy model: Niech prawdziwa będzie restrykcja: MNK dla modelu niekoniecznie efektywna, bo więcej restrykcji niż parametrów:  r „overidentifying restrictions”

9 Uogólniona metoda momentówNiech będzie funkcją ( ) parametrów ( ), : funkcja momentów, np.

10 Uogólniona metoda momentówPoliczmy odpowiednik na danych z próby: Estymator momentów próbuje znaleźć takie , że Niech będzie miarą „długości” wektora gdzie: to macierz wag ( )

11 Uogólniona metoda momentówNa przykład dla Estymator GMM (UMM):

12 Uogólniona metoda momentówDla jest to estymator momentów FOC: …czyli:

13 Uogólniona metoda momentówDefinicja estymatora dla modelu liniowego: Efektywny estymator GMM dla gdzie Asymptotyczny rozkład estymatora:

14 Estymacja macierzy wagWybierz macierz startową: Policz:

15 „Two-step” GMM Wzór dla modelu liniowego:Błędy szacunku parametrów = pierwiastki z głównej przekątnej macierzy

16 Alternatywny estymator UMMMinimalizuj: „continuously-updated GMM estimator”

17 UMM dla modeli nieliniowychMinimalizuje: startuje: możliwe wiele iteracji

18 UMM dla modeli nieliniowychRozkład asymptotyczny estymatora: Wariancja szacunków parametrów:

19 Testowanie „nadliczbowych” restrykcjiTest of overidentifying restrictions: Wykrywa możliwe wady modelu: słabe instrumenty, zbyt dużo instrumentów, zła postać modelu, itp.

20 Forma zredukowana modeluSprawdźmy relację między x i z: Estymator MNK:

21 Metoda zmiennych instrumentalnychPodstawmy tę relację do równania (1): gdzie: Zauważmy, że: …dlatego można zastosować MNK:

22 MZI i pośrednia MNK ( ) MZI to szczególny przypadek UMM:Pośrednia MNK (Indirect least squares):

23 Dodatek Literatura: R.Rigobon, B. Sack (2004) The impact of Monetary Policy on Asset Prices, Journal of Monetary Economics 51, 1553–1575.

24 Metoda „identyfikacji przez heteroskedastyczność”Forma zredukowana modelu:

25 Różne wariancje w podpróbachMacierze wariancji zmiennych objaśnianych w podpróbach T1 i T2:

26 Różnica między wariancjami w podpróbachRóżnica macierzy wariancji: Wyznaczamy b:

27 Metoda zmiennych instrumentalnychEstymatory MZI:

28 Metoda zmiennych instrumentalnychEstymatory MZI:

29 Metoda zmiennych instrumentalnychRóżnica między wektorami średnich dla zmiennych objaśnianych w podpróbach: Estymator MZI:

30 Metoda zmiennych instrumentalnychKonstrukcja instrumentów: – uwzględniających zmiany w wariancji – uwzględniających zmiany w średniej