1 Metodologia nauk (1) Elementy logiki 1

2 Logika Logika = nauka o języku jako systemie znaków, w szczególności o związkach między wartościami logicznymi zdań, zachodzącymi ze względu na budowę (a nie treść) zdań. M. in. po to, aby odróżniać rozumowania prawidłowe od nieprawidłowych. Elementy logiki 2

3 Logika Jeżeli Funio kocha Kundzię, to się z nią ożeni. Funio nie kocha Kundzi. ---------------------------------------------------------- (Zatem) Funio nie ożeni się z Kundzią. Czy wniosek wynika logicznie z przesłanek? Elementy logiki 3

4 Logika Jeżeli Funio kocha Kundzię, to się z nią ożeni. Funio nie kocha Kundzi. ---------------------------------------------------------- (Zatem) Funio nie ożeni się z Kundzią. Nie. Nie jest bowiem wykluczone, że Funio ożeni się z Kundzią, mimo że jej nie kocha. Elementy logiki 4

5 Logika Funio jest poetą lub jest fizykiem. Funio jest poetą. -------------------------------------------- (Zatem) Funio nie jest fizykiem. Elementy logiki 5

6 Logika Funio jest poetą lub jest fizykiem. Funio jest poetą. -------------------------------------------- (Zatem) Funio nie jest fizykiem. Nie jest jednak wykluczone, że Funio jest i poetą, i fizykiem. Elementy logiki 6

7 Logika Funio jest poetą lub jest fizykiem. Funio jest poetą. Zatem Funio nie jest fizykiem. Użycie spójnika „lub” zamiast „i” może dawać do zrozumienia, że Funio nie jest poetą i fizykiem zarazem. Czym innym jest dawać coś do zrozumienia, a czym innym oznajmiać wprost. Pierwszym zajmuje się logika konwersacji, drugim logika rozumowania. Elementy logiki 7

8 Logika Niektóre blondynki są inteligentne. Zatem niektóre (inne) nie są. Elementy logiki 8

9 Logika Niektóre blondynki są inteligentne. Zatem niektóre (inne) nie są. Nie jest jednak wykluczone, że wszystkie blondynki są inteligentne. Użycie „niektóre” wprawdzie daje do zrozumienia, że „nie wszystkie”, lecz nie oznajmia tego wprost. „Niektóre” znaczy „co najmniej jedna”. Elementy logiki 9

10 Logika Kundzia Blond jest inteligentna. Zatem niektóre (na przykład Kundzia) blondynki są inteligentne. Czy zatem niektóre (inne) blondynki nie są inteligentne? Elementy logiki 10

11 Logika Funio jest synem wybitnej osobistości. Zatem ojciec Funia jest wybitną osobistością. Elementy logiki 11

12 Logika Funio jest synem wybitnej osobistości. Zatem ojciec Funia jest wybitną osobistością. Nie jest jednak wykluczone, że to matka Funia jest wybitną osobistością, zaś ojciec pospolitym gamoniem. Elementy logiki 12

13 Zdanie w sensie logicznym Zdanie w sensie logicznym to wyrażenie, które ma wartość logiczną (prawdę, fałsz, ewentualnie inne wartości). Elementy logiki 13

14 Zdanie w sensie logicznym Która godzina? Wstawaj wreszcie! Nie pożądaj żony bliźniego swego. Nadaję Panu tytuł naukowy profesora. Jak Funio będzie podskakiwał, to Gucio da mu popalić. Pytania, rozkazy Performatywy Niejasne sformułowania Elementy logiki 14 Przykłady zdań języka potocznego, które nie są zdaniami w sensie logicznym:

15 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Elementy logiki 15

16 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Założenie nie wprost: jest student, nazwijmy go Funio, który nie jest ssakiem. Elementy logiki 16

17 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Założenie nie wprost: jest student, nazwijmy go Funio, który nie jest ssakiem. Na mocy pierwszej przesłanki Funio, jako student, jest człowiekiem. Elementy logiki 17

18 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Założenie nie wprost: jest student, nazwijmy go Funio, który nie jest ssakiem. Na mocy pierwszej przesłanki Funio, jako student, jest człowiekiem. Na mocy drugiej przesłanki Funio, jako człowiek, jest ssakiem. Elementy logiki 18

19 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Założenie nie wprost: jest student, nazwijmy go Funio, który nie jest ssakiem. Na mocy pierwszej przesłanki Funio, jako student, jest człowiekiem. Na mocy drugiej przesłanki Funio, jako człowiek, jest ssakiem. Sprzeczność: Funio jest i nie jest ssakiem. Elementy logiki 19

20 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Założenie nie wprost: jest student, nazwijmy go Funio, który nie jest ssakiem. Na mocy pierwszej przesłanki Funio, jako student, jest człowiekiem. Na mocy drugiej przesłanki Funio, jako człowiek, jest ssakiem. Sprzeczność: Funio jest i nie jest ssakiem. Nie jest możliwe, by przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Elementy logiki 20

21 Wynikanie logiczne Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ---------------------------------------------------------------------- Każdy student jest ssakiem Założenie nie wprost: jest student, nazwijmy go Funio, który nie jest ssakiem. Na mocy pierwszej przesłanki Funio, jako student, jest człowiekiem. Na mocy drugiej przesłanki Funio, jako człowiek, jest ssakiem. Sprzeczność: Funio jest i nie jest ssakiem. Nie jest możliwe, by przesłanki były prawdziwe, a wniosek fałszywy. Wniosek wynika logicznie z przesłanek. Elementy logiki 21

22 Schemat wnioskowania Każdy student jest człowiekiem Każdy człowiek jest ssakiem ------------------------------------------------------------------ ---- Każdy student jest ssakiem Każdy student jest artystą, Każdy artysta jest poetą Każdy student jest poetą Każdy student jest małpą, Każda małpa jest papugą Każdy student jest papugą Każdy babak jest cacakiem, Każdy cacak jest dadakiem Każdy babak jest dadakiem Każde S jest M, Każde M jest P ⊨ Każde S jest P Elementy logiki 22

23 Nie zawsze wynika… Każdy student jest człowiekiem, Każdy student jest ssakiem (?) Każdy człowiek jest ssakiem Elementy logiki 23

24 Nie zawsze wynika… Każdy student jest człowiekiem, Każdy student jest ssakiem (Czy zatem) Każdy człowiek jest ssakiem (?) (?) Każde S jest M, Każde S jest P ⊨ Każde M jest P Elementy logiki 24

25 Nie zawsze wynika… Każdy student jest człowiekiem, Każdy student jest ssakiem (Czy zatem) Każdy człowiek jest ssakiem (?) (?) Każde S jest M, Każde S jest P ⊨ Każde M jest P Kontrprzykład: Niech Funio będzie człowiekiem, ale nie ssakiem. Nawet jeśli przesłanki są prawdziwe, to wniosek, chociaż faktycznie prawdziwy, mógłby być fałszywy (pod warunkiem, że Funio nie jest studentem). Elementy logiki 25

26 Klasyczny rachunek zdań Klasyczny rachunek zdań, w skrócie KRZ, rozpatruje zdania złożone za pomocą spójników ze zdań prostych. KRZ nie bierze pod uwagę wewnętrznej budowy zdania prostego (nie rozkłada zdań prostych na podmiot, orzeczenie i inne części zdania). Elementy logiki 26

27 Język KRZ Alfabet: zmienne zdaniowe: , ,  … Spójniki Nawiasy: (, ) Elementy logiki 27

28 Spójniki czytamy jako:nazwa:inne oznaczenia:  nienegacja~  lubalternatywa  ikoniunkcja&  jeżeli …, toimplikacja ,   wtedy i tylko wtedy, gdy równoważność ,  Elementy logiki 28

29 Reguły tworzenia formuł języka KRZ (wyrażeń poprawnie zbudowanych) (reguły gramatyczne): Każda zmienna zdaniowa jest formułą języka KRZ. Jeżeli A i B są formułami języka KRZ, to  A, A  B, A  B, A  B, A  B są formułami języka KRZ. Żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Elementy logiki 29

30 Przykłady formuł poprawnie zbudowanych: ,  (  )    (    )   ((  )   ) (  (    ))  (   ((    )) Elementy logiki 30

31 Opuszczanie nawiasów: Elementy logiki 31  wiąże mocniej od , , a te mocniej od , . (  )   =      ((  )   ) =   (    ) (  (    ))  (   ((    )) =       (    )

32 Schematy zdań języka potocznego: Murarz domy buduje, krawiec szyje ubrania. Kundzia lubi lody poziomkowe, ale nie pistacjowe. Gdy widzę słodycze, to kwiczę. Funio jest poetą, który – o dziwo – zna się na logice. Jeżeli Funio jest poetą, to jeżeli pozna Kundzię, to napisze wiersz. Elementy logiki 32

33 Reguły wnioskowania Reguła odrywania:     --------  Elementy logiki 33

34 Błędy logiczne     -------------------------  Minister Kalisz powiedział, że jeżeli jest afera w policji, to on poda się do dymisji. Minister Kalisz podał się do dymisji. Zatem jest coś na rzeczy. Elementy logiki 34

35 Błędy logiczne     -------------------------  Minister Kalisz powiedział, że jeżeli jest afera w policji, to on poda się do dymisji. Minister Kalisz podał się do dymisji. Zatem jest coś na rzeczy. Elementy logiki 35     ------------------------- 

36 Podstawowe założenia logiki klasycznej: Zasada dwuwartościowości. Każde zdanie przyjmuje jedną z dwóch wartości logicznych: 0 (fałsz) lub 1 (prawdę). Zasada ekstensjonalności. Wartość logiczna zdania złożonego zależy wyłącznie od wartości logicznych zdań składowych i łączących je spójników (nie zależy od treści zdania). Wszystkie spójniki zdaniowe są spójnikami ekstensjonalnymi, czyli funkcjami prawdziwościowymi. Elementy logiki 36

37 Funkcje prawdziwościowe  01 10      000 011 101 111      000 010 100 111 Elementy logiki 37

38 Funkcje prawdziwościowe      001 011 100 111      001 010 100 111 Elementy logiki 38 Nieoczekiwana własność implikacji: Prawdą jest, że jeżeli pingwiny latają wysoko, to wszyscy studenci pilnie się uczą.

39 Przykłady spójników (operatorów) intensjonalnych (czyli nieekstensjonalnych) Funio wie, że 2+2=4. Funio wie, że ∫cosxdx = sinx + C. Gucio posprzątał z obowiązku. Gucio zjadł lody z obowiązku. Elementy logiki 39

40        (    )  (    ) 00 01 10 11 Elementy logiki 40 Badanie formuł KRZ metodą tabel zero-jedynkowych

41        (    )  (    ) 001 011 100 111 Elementy logiki 41 Badanie formuł KRZ metodą tabel zero-jedynkowych

42        (    )  (    ) 0011 0111 1000 1110 Elementy logiki 42 Badanie formuł KRZ metodą tabel zero-jedynkowych

43        (    )  (    ) 00111 01111 10000 11101 Elementy logiki 43 Badanie formuł KRZ metodą tabel zero-jedynkowych

44        (    )  (    ) 00111 01111 10000 11101 Elementy logiki 44 Badanie formuł KRZ metodą tabel zero-jedynkowych

45        (    )  (    ) 001111 011111 100001 111011 Elementy logiki 45 Badanie formuł KRZ metodą tabel zero-jedynkowych

46 Tautologie i prawa logiki W ostatniej kolumnie tabeli znajdują się same jedynki. Znaczy to, że formuła (    )  (    ) jest schematem zdania prawdziwego bez względu na to, jakie zdania (prawdziwe, czy fałszywe) zostaną podstawione na miejsce zmiennych  i . Inaczej: każde podstawienie do tego schematu jest prawdziwe. Elementy logiki 46

47 Tautologie i prawa logiki (    )  (    ) Na przykład: niech  znaczy „Funio kocha Kundzię”, zaś  „Funio ożeni się z Kundzią”. Wówczas zdanie „Jeżeli jest tak, że jeżeli Funio kocha Kundzię, to się z nią ożeni, to Funio nie kocha Kundzi lub się z nią ożeni” jest prawdziwe bez względu na to, co faktycznie dzieje się między Funiem i Kundzią. Elementy logiki 47

48 Tautologie i prawa logiki Zdania o tej własności (tj. prawdziwe bez względu na fakty) nazywają się tautologiami, zaś schematy takich zdań prawami logiki (prawami KRZ). Niektórzy autorzy stosują nieco inną terminologię: nazywają zdania prawdziwe bez względu na fakty prawdami logicznymi, zaś tautologiami nazywają prawa logiki. Czyli formuła (    )  (    ) jest prawem logiki. Elementy logiki 48

49 Czy logika wymaga myślenia? Elementy logiki 49

50 Ani trochę Logika służy do zastępowania myślenia Elementy logiki 50

51 Ani trochę Logika służy do zastępowania myślenia rachunkiem Elementy logiki 51

52 Twierdzenie o dedukcji  1,  2, …,  n |=  wtw  1   2  …   n   jest prawem logiki Elementy logiki 52

53 Przykład wnioskowania Nigdy nie wygrzebiemy się z długów, chyba że stryj Walenty sypnie groszem. A na pewno nie sypnie, jeżeli nie przejmie kamienicy po prababce Adeli. Skąd płynie jedyna pocieszająca konkluzja: jeśli uda się mu z kamienicą, to długi spłacimy. Elementy logiki 53

54 Przykład wnioskowania Nigdy nie wygrzebiemy się z długów, chyba że stryj Walenty sypnie groszem. A na pewno nie sypnie, jeżeli nie przejmie kamienicy po prababce Adeli. Skąd płynie jedyna pocieszająca konkluzja: jeśli uda się mu z kamienicą, to długi spłacimy.  = „(kiedyś) wygrzebiemy się z długów” = „spłacimy długi”  = „stryj Walenty sypnie groszem”  = „stryj Walenty przejmie kamienicę po prababce Adeli” = „uda mu się z kamienicą” Elementy logiki 54

55 Przykład wnioskowania Nigdy nie wygrzebiemy się z długów, chyba że stryj Walenty sypnie groszem. A na pewno nie sypnie, jeżeli nie przejmie kamienicy po prababce Adeli. Skąd płynie jedyna pocieszająca konkluzja: jeśli uda się mu z kamienicą, to długi spłacimy.  = „spłacimy długi”  = „stryj Walenty sypnie groszem”  = „uda mu się z kamienicą” Elementy logiki 55 „chyba że” = „jeżeli nie”. „skąd płynie jedyna pocieszająca konkluzja” = |= „na pewno”: zwrot emfatyczny, można pominąć

56 Przykład wnioskowania Nigdy nie wygrzebiemy się z długów, chyba że stryj Walenty sypnie groszem. A na pewno nie sypnie, jeżeli nie przejmie kamienicy po prababce Adeli. Skąd płynie jedyna pocieszająca konkluzja: jeśli uda się mu z kamienicą, to długi spłacimy.  = „spłacimy długi”  = „stryj Walenty sypnie groszem”  = „uda mu się z kamienicą” „chyba że” = „jeżeli nie”. Elementy logiki 56 Schemat rozumowania:   ,    -----------------------------   

57 Przykład wnioskowania   ,    |=    wtw (    )  (    )  (    ) jest prawem logiki Elementy logiki 57

58 Metoda nie wprost (    )  (    )  (    ) 1  0 Elementy logiki 58

59 Metoda nie wprost (    )  (    )  (    ) 1  0 1 1 1  0 Elementy logiki 59

60 Metoda nie wprost (    )  (    )  (    ) 1  0 1 1 1  0  1 0  Elementy logiki 60

61 Metoda nie wprost (    )  (    )  (    ) 1  0 1 1 1  0  1 0  Schemat nie jest prawem logiki, bo gdy  jest fałszywe, a  prawdziwe, to każde podstawienie do schematu jest fałszywe Elementy logiki 61

62 Metoda nie wprost (    )  (    )  (    ) Schemat nie jest prawem logiki, bo gdy  jest fałszywe, a  prawdziwe, to każde podstawienie do schematu jest fałszywe Dlatego wniosek    nie wynika logicznie z przesłanek   ,    Elementy logiki 62

63 Metoda nie wprost Nigdy nie wygrzebiemy się z długów, chyba że stryj Walenty sypnie groszem. A na pewno nie sypnie, jeżeli nie przejmie kamienicy po prababce Adeli. Skąd płynie jedyna pocieszająca konkluzja: jeśli uda się mu z kamienicą, to długi spłacimy. Wniosek nie wynika logicznie z przesłanek, ponieważ nawet jeżeli stryj Walenty przejmie kamienicę po prababce Adeli (  ), to niekoniecznie sypnie groszem (  ). A jeśli nawet, to nie ma gwarancji, że wygrzebiemy się z długów (  ), bo grosza może być za mało albo możemy wszystko przehulać. Elementy logiki 63

64 Język klasycznego rachunku predykatów zmienne indywiduowe: x, y, z… stałe indywiduowe: a, b, c… spójniki: , , , ,  predykaty o różnej liczbie argumentów: P, Q, R … identyczność: = kwantyfikatory ,  znaki przestankowe: przecinki i nawiasy Elementy logiki 64

65 Język klasycznego rachunku predykatów P(x 1, x 2,…, x n ) formuła atomowa n := liczba argumentów predykatu P  x  uogólnienie uniwersalne  x  uogólnienie egzystencjalne x := zmienna związana Elementy logiki 65

66 Przykład: P := „… kocha …” P(x, y)x kocha y. P(Funio, Kundzia)Funio kocha Kundzię.  x  y P(x, y)Ktoś kogoś kocha.  x  y P(x, y)Ktoś kocha wszystkich.  x  y P(x, y)Każdy kocha kogoś.  x  y P(x, y)Każdy kocha wszystkich. Elementy logiki 66

67 Przykład:  x  y P(x, y)Ktoś kocha wszystkich.  x  y P(x, y)Każdy kocha kogoś.  y  x P(x, y) Elementy logiki 67

68 Przykład:  x  y P(x, y)Ktoś kocha wszystkich.  x  y P(x, y)Każdy kocha kogoś.  y  x P(x, y)Kogoś wszyscy kochają. Elementy logiki 68

69 Interpretacja kwantyfikatorów  x  (x) jest prawdziwe wtw dla dowolnego indywiduum a reprezentowanego przez zmienną x podstawienie  (x|a) jest prawdziwe  x  (x) jest prawdziwe wtw dla jakiegoś indywiduum a reprezentowanego przez zmienną x podstawienie  (x|a) jest prawdziwe Elementy logiki 69

70 Amfibologie Poszukuję pokoju z oddzielnym wejściem dla starszej pani. Elementy logiki 70

71 Amfibologie Poszukuję pokoju z oddzielnym wejściem dla starszej pani. Dla starszej pani poszukuję pokoju z oddzielnym wejściem. Elementy logiki 71

72 Amfibologie Przedsiębiorstwo zamieni obiekt kolonijny na 100 dzieci.  x  y [Z(a, x, y)  Q(x)  R(?)] Elementy logiki 72

73 Amfibologie Przedsiębiorstwo zamieni obiekt kolonijny na 100 dzieci.  x  y [Z(a, x, y)  Q(x)  R(?)] Elementy logiki 73 Przedsiębiorstwo zamieni (z innym przedsiębiorstwem) obiekt kolonijny na równorzędny, mieszczący 100 dzieci.

74 Amfibologie Buzek jest przyjacielem Krzaklewskiego, który zawsze słucha jego rad. P(b, k)  S(?, ?) Elementy logiki 74

75 Amfibologie Buzek jest przyjacielem Krzaklewskiego, który zawsze słucha jego rad. P(b, k)  S(?, ?) Buzek przyjaźni się z Krzaklewskim i zawsze słucha jego rad. Elementy logiki 75

76 Amfibologie Art. 20, p. 7. Promotorem pomocniczym w przewodzie doktorskim … może być osoba posiadająca stopień doktora w zakresie danej lub pokrewnej dyscypliny naukowej lub artystycznej i nieposiadająca uprawnień do pełnienia funkcji promotora w przewodzie doktorskim. Elementy logiki 76

77 Niejawne kwantyfikatory Marks postulował, aby człowiek panował nad społeczeństwem. Elementy logiki 77

78 Niejawne kwantyfikatory Marks postulował, aby człowiek panował nad społeczeństwem. Powstaje jednak pytanie, który człowiek (L. Kołakowski). Elementy logiki 78

79 Niejawne kwantyfikatory Marks postulował, aby człowiek panował nad społeczeństwem. Powstaje jednak pytanie, który człowiek (L. Kołakowski).  x [ H(x)  P(x) ]  x [ H(x)  P(x) ] Elementy logiki 79

80 Uchylanie presupozycji i dwuznaczność „nie” Gucio przestał bić swoją żonę ≻ Gucio do tej pory bił żonę Elementy logiki 80

81 Uchylanie presupozycji i dwuznaczność „nie” Gucio przestał bić swoją żonę ≻ Gucio do tej pory bił żonę Gucio nie przestał bić żony (nadal ją bije) ≻ Gucio bił żonę Elementy logiki 81

82 Uchylanie presupozycji i dwuznaczność „nie” Gucio przestał bić swoją żonę ≻ Gucio do tej pory bił żonę Gucio nie przestał bić żony (nadal ją bije) ≻ Gucio bił żonę Gucio nie przestał bić żony, bo nigdy jej nie bił. Elementy logiki 82

83 Uchylanie presupozycji i dwuznaczność „nie” Gucio nie przestał bić żony (nadal ją bije) ≻ Gucio bił żonę Gucio nie przestał bić żony, bo nigdy jej nie bił. Nieprawda, że Gucio przestał bić żonę  Gucio nie przestał bić żony  Gucio przedtem nie bił żony Elementy logiki 83

84 Nieprzemienne spójniki Kundzia jest głupia, ale (na szczęście) piękna. Elementy logiki 84

85 Nieprzemienne spójniki Kundzia jest głupia, ale (na szczęście) piękna. Kundzia jest piękna, ale (niestety) głupia. Elementy logiki 85

86 Nieprzemienne spójniki Kundzia jest głupia, ale (na szczęście) piękna. Kundzia jest piękna, ale (niestety) głupia. Kundzia jest głupia, ale (?) szpetna. Elementy logiki 86

87 Podsumowanie Języki rachunków logicznych służą m.in. do: unikania amfibologii; ujednoznaczniania niejawnych kwantyfikatorów; odróżniania wynikania logicznego od konwersacyjnego. Elementy logiki 87

88 Podsumowanie Ale: niektóre niejednoznaczności są pożądane; wynikanie konwersacyjne jest faktem językowym; nieprzemienność spójników jest nośnikiem treści. Elementy logiki 88

89 Podsumowanie W razie potrzeby języki rachunków logicznych można wzbogacać o nowe operatory oraz Można rozwijać pragmatykę logiczną. Elementy logiki 89