1 Métodos de Monte Carlo y Quasi-Monte Carlo aplicados a los mercados financieros Trabajo Fin de Máster en Matemáticas Avanzadas UNED Realizado por: Rubén Colomina Citoler Supervisado por el Doctor: Carlos Moreno González

2 Artículos de referencia [1] P.P.Boyle,Y.Lai,K.S.Tan: Pricing options using lattice methods (2010) [2] Mark Broadie, Paul Glasserman: Estimating Security Price Derivatives Using Simulation (1996)

3 Contexto y problemática Necesidad de resolver problemas de los mercados financieros: ◦ Sin expresiones analíticas conocidas. ◦ Expresiones analíticas con alto coste computacional. ◦ Alta dimensión.

4 Métodos numéricos basados en cuadraturas sufren del efecto “Curse of dimensionality” para los problemas de alta dimensión: ◦ Coste computacional es exponencial con la dimensión. Los métodos clásicos están “malditos”

5 Comparativa del orden de convergencia del error en los métodos numéricos de cuadratura según la dimensión El error puede “vivir” debajo de unas cotas muy amplias incluso con un número elevado de muestras.

6 Objetivo del Trabajo Estudiar aplicaciones prácticas e implementar programas informáticos para los métodos de Monte Carlo y Quasi- Montecarlo aplicados en problemas de opciones financieras.

7 Problemas tratados en el trabajo 1. Cálculo de volúmenes en varias dimensiones. 2. Simulación de variables aleatorias y procesos estocásticos. 3. Valoración de opciones financieras. 4. Cálculo de griegas de opciones financieras.

8 Herramientas informáticas utilizadas en el trabajo Entorno integrado bajo SO Linux/Debian ◦ Entorno de programación: Octave GNU (doble precisión de cálculo) ◦ Generador de gráficas: Octave GNU ◦ Procesador de texto: LaTeX ◦ Editor de textos: Emacs

9 Opciones financieras

10 Diferentes funciones de pago para las opciones de tipo Call (Put con signo menos) Looback Option con tiempo de monitorización discretos Spread Option con dos activos correlacionados Opción Asiática con tiempos de monitorización discretos Opción Europea

11 Problemas relacionados con las opciones financieras ¿Qué valor actual posee una opción antes de su momento de expiración?

12  Mercado viable y completo  Mercado libre de fricciones.  Posibilidad de ventas en corto y compra de fracciones de activos.  Modelo matemático de los precios económicos se ajusta a un movimiento geométrico Browniano Hipótesis en la valoración de opciones financieras

13 Modelo de Black-Scholes Fórmula de valoración

14 Economía con múltiples activos  Múltiples activos posiblemente correlacionados.  Los activos producen dividendos.  Volatilidades de cada activo constante.  Tipo de interés constante  Los retornos siguen una distribución multivariante Logaritmo-Normal.

15 Caso multidimensional para la valoración de opciones estilo Europeo  Estilo Europeo: Únicamente ejecutables en su fecha de vencimiento:. Vector de Precios correlacionados Función de pago Calcular el valor esperado de la opción

16 Métodos de Monte Carlo

17 ¿Qué es el método de Monte Carlo? Es una aplicación de la ley fuerte de los grandes números sobre funciones de una variable aleatoria. MC aproxima mediante muestreo el valor esperado de los promedios de funciones de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

18 Formalmente, si una función de prueba f evaluada sobre una variable aleatoria X cumple, Se puede asegurar, Dada una muestra de X,

19 Orden de convergencia de MC Por el teorema Central de Límite, a la normal estándar.

20 Orden de convergencia de MC MC permite acotar el error absoluto por la cantidad: Siendo N el número de muestras, f la función de prueba, y:

21 Ejemplo de aplicación de MC : Cálculo del área de una circunferencia. Particularizando la fórmula de MC con la variable aleatoria y la función de prueba :

22 Ejemplo MC para integral multidimensional Fórmula exacta Función de prueba para MC  Generando 50000 muestras distribución uniforme en [0,R]^N ¿Suerte? El tiempo y el error crecen con la dimensión a pesar de la promesa de independencia de la dimensión vista para MC.

23 Convergencia MC de integral multidimensional según dimensión

24 Aplicando MC a opciones Call Europeas La variable aleatoria a muestrear es una distribución Logaritmo-Normal La función de prueba es

25 Algoritmo MC para una opción Call Europea Se generan muestras aleatorias normales y se calculan promedios

26 Ejemplo numérico de MC para una opción Call Europea Error creciente con la Volatilidad Condiciones de la opción

27 Método de aproximación de Euler para simular Movimientos Geométricos Brownianos (GBM) Se fija una retícula con un intervalo de tiempo Dada la ecuación diferencial Que aproxima la solución a la SDE en el momento La ecuación en diferencias define el proceso

28 Simulación de 100 GBM En cada instante forman una distribución Log-Normal

29 MC aplicado a la valoración de opciones Asiáticas Función de prueba para MC Distribución Log-Normal Multivariante de la variable aleatoria. Se muestrea mediante el método de Euler. Número de monitorizaciones Uniformemente distribuidas antes del vencimiento

30 Algoritmo MC para una opción Call Asiática Incluyen la simulación de múltiples GBM

31 Griegas de una opción

32 Estimadores para las griegas de una opción financiera Desde el articulo [2] de Mark Broadie, Paul Glasserman se han extraído dos metodologías para deducir estimadores insesgados: ◦ PATHWISE: Se deducen de la relación entre la función de pago y el tipo de interés. ◦ LIKELIHOOD: Se deducen de la reación entre la funcion de distribución del subyacente y el tipo de interés. Las expresiones analíticas serán diferentes, por lo que los resultados numéricos de ambas metodologías también serán diferentes.

33 Condiciones generales para conseguir estimadores insesgados Además, la condición A4, permite aplicar el teorema de la convergencia dominada, para intercambiar la derivada con la integral, en el caso de un estimador de tipo LIKELIHOOD.

34 Estimador de Vega de tipo PATHWISE para una opción Call Europea Estimador de tipo PATHWISE para Vega Función de pago Distribución Vencimiento

35 Estimador de Vega de tipo LIKELIHOOD para una opción Call Europea Si es Estimador de tipo LIKELIHOOD para Vega Se asume que se puede intercambiar la derivada con la integral, con las condiciones de “suavidad” para el integrando, o bien, por la condición (A4) de la proposición anterior.

36 Otros estimadores insesgados de tipo Pathwise para una opción Call Europea EXACTA

37 Otros estimadores insesgados de tipo LIKELIHOOD para una opción Call Europea Las expresiones son diferentes de las de tipo PATHWISE

38 MC aplicado al cálculo de griegas de una opción Call Europea PATHWISE posee menor error estándar que LIKELIHOOD Condiciones de la opción 10000 muestras

39 Técnicas de reducción de varianza Dado X un estimador de tipo MC, se desea encontrar otro estimador Y tal que,

40 Técnicas de reducción de varianza para griegas de una opción Si D es un estimador insesgado para una griega de un opción, Desde que, El estimador,es también insesgado. Se puede deducir tomando Varianza y derivando respecto de beta que la beta óptima se encuentra para:

41 Aplicación MC con control de varianza a los estimadores de tipo PATHWISE y LIKELIHOOD de las griegas de una opción Europea Control de varianza mejora los resultados Condiciones de la opción 10000 muestras

42 Métodos de Quasi-Monte Carlo

43 Secuencias de baja discrepancia Desde que se cumple la siguiente relación, se usará tan sólo discrepancia estrella

44 Comparativa entre secuencias aleatorias y quasi-aleatorias 10000 puntos de una secuencia de baja discrepancia 10000 puntos de una distribución uniforme aleatoria Forman acumulaciones de solapamientos y huecos vacíos

45 Desigualdad de Koksma-Hlawka En la práctica es posible encontrar conjuntos de puntos de baja discrepancia: Van der Corput Halton Sobol Lattice Rules acotada por la siguiente desigualdad:

46 Problemas abiertos ¿Existen cotas inferiores para discrepancia estrella?

47 ¿Qué es Quasi-Monte Carlo? Análogamente a MC, es un estimador de la esperanza de una variable aleatoria, evaluada sobre una secuencia de baja discrepancia.

48 Secuencias de Van der Corput Secuencia de baja discrepancia sobre el intervalo [0,1]. Se define como la inversión de los números naturales representados en una base b.

49 Secuencias de Halton

50 Correlación entre variables de dimensiones con ciclo largo en una secuencia de Halton Los pares de variables de ciclo de primo largo, están correlacionadas ¡¡ES UN PROBLEMA!!

51 Lattice Rules (LR) de orden N Definición general es poco útil En la práctica se pueden caracterizar Los puntos definidos por la ecuación modular son todos distintos

52 Estimador LR con N puntos Demasiadas posibilidades para Z1,…,Zr

53 Good Lattice Points (GLP) Caso particular de LR con un único z en cada componente Eligiendo z de la forma posibles GLP

54 Cota del error alcanzada por QMC para funciones periódicas utilizando GLP  Si QMC se usa con funciones de prueba periódicas de comportamiento suave junto a GLP, es posible aplicar la teoría de series de Fourier alcanzando la siguiente cota del error:

55 Caso particular de GLP de dimensión 2 generadas con Fibonacci  Las secuencia GLP de dimensión 2 poseen coeficientes óptimos para el siguiente z

56 Aspecto de GLP de dimensión 2 generadas con Fibonacci para distintos tamaños de N

57 Funciones de periodización POLINOMICASTRIGONOMETRICAS  En general no se dispondrá de funciones de prueba periódicas para QMC

58 Integral transformada por una función de periodización es invariante  Permitirá alcanzar la cota del error de QMC sobre funciones periódicas usando GLP.

59 Calcular error de un QMC utilizando un desplazamiento aleatorio de GLP  El error de un método determinista, se calcula con un desplazamiento aleatorio de GLP.  Cada desplazamiento se puede considerar como una muestra.  Se utilizará el error estándar para LookBack Options.  Se utiliza RMSE (Root Mean Square Error) para Spread Options. (contrasta un valor teórico contra otro estimado).

60 Valoración de LookBack Options mediante QMC+LDS+Periodización El algoritmo es análogo al de valoración de opciones Asiáticas

61 Aplicación QMC a LB options Con N=1024 puntos ¡QMC+GLP+Periodizacion obtiene peores resultados que MC!.Mayor error estándar. ¿Por qué?

62 La función inversa de la normal estándar distorsiona las propiedades de baja discrepancia de una GLP Algunas proyecciones de pares de variables pierden sus propiedades de baja discrepancia.

63 Con un número mayor de puntos para GLP se atenúa el problema Con N=4096 puntos QMC+GLP+Periodización, sí mejoran los resultados respecto a MC crudo o QMC+LDS

64 Valoración de Spread Options mediante QMC+GLP P.P.Boyle [1] propone cambios de variable convenientes para integrar en [0,1)x[0,1)

65 Reformulación del problema analítico Realizando cambios de variable bivariantes y la descomposición matricial de Cholesky se llega a la expresión: Realizando cambios de variable bivariantes y la descomposición matricial de Cholesky se llega a la expresión:

66 Algoritmo para h*

67 Estimador QMC para una Spread Option sobre [0,1)x[0,1) Añadiendo una transformación de periodización

68 Aplicación del estimador QMC a una Spread Option K=0 El valor teórico de referencia usado es La Fórmula de Margrabe El valor teórico de referencia usado es La Fórmula de Margrabe Escasos puntos para unos resultados tan sorprendentes respecto a otros métodos

69 Aplicación del estimador QMC a una Spread Option K=1 ¿Problemas con la doble precisión del Lenguaje de programación Octave? Una estimacion con GLP usando N=121,393 es considerada el verdadero valor “teórico”

70 Conclusiones  Respecto a los métodos MC:  Los algoritmos son sencillos de implementar ofreciendo mucha potencia en alta dimensión con respecto a los métodos de cuadratura.  El error estándar crece con la volatilidad en la valoración de una opción Europea.  Se ha aplicado con éxito en problemas de integrales en alta dimensión,.  Los estimadores de tipo PATHWISE son mejores que los de LIKELIHOOD en la estimación de griegas de opciones Europeas.  El control de varianza mejoran los resultados en general.  Respecto a los métodos QMC:  Las secuencias LDS pueden tener problemas de correlación y dependencias en altas dimensiones.  GLP con periodización aplicado a LookBack Options, problema de baja dimensión, ha resultado muy potente respecto otras LDS y MC crudo.  GLP+Periodización junto a un pre-tratamiento analítico para las Spread Options ofrecen resultados mucho mejores que con respecto a GLP sin periodización.  Es necesario implementar convenientemente la inversa de la función normal estándar para atenuar la degeneración de las propiedades de baja discrepancia en su aplicación.

71 Muchas gracias su atención. Rubén Colomina Citoler email: [email protected] [email protected] www.rubencolomina.es/tfm/