1 MÉTODOS NUMÉRICOS 2.3 Búsqueda de varias raícesGustavo Rocha 2005-2

2 BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCESLas ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. La posible existencia de raíces múltiples complica el problema.

3 ECUACIONES CON VARIAS RAÍCESLas ecuaciones tienen una o varias raíces y es menester localizar cada una de ellas. La posible existencia de raíces múltiples complica el problema. En la vecindad de la raíz, tanto la función como su derivada se acercan a cero. Las ecuaciones con un número par de raíces múltiples son tangentes al eje x y no lo cruzan. Las ecuaciones con un número impar de raíces múltiples cruzan al eje x en un punto de inflexión. En caso de raíces múltiples, al no haber cambio de signo, los métodos cerrados no son confiables.

4 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALLa búsqueda consiste en empezar en un extremo del intervalo de interés y evaluar la función con pequeños incrementos a lo largo del intervalo. Si la longitud del incremento no es lo suficientemente pequeña, algunas raíces pueden pasar inadvertidas. f(x) 3 raíces 2 raíces 2 raíces x x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x x x x x x x x x

5 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALEl método de búsqueda incremental se utiliza para identificar todas las raíces de una ecuación, considerando: La manera como se presenta físicamente el fenómeno. El número de raíces reales y/o complejas que se espera tenga la ecuación, especialmente cuando se trata de polinomios. Es conveniente utilizar tamaños de incremento acordes con el fenómeno analizado y el número esperado de raíces. Ante la sospecha de que la ecuación algebraica o trascendente tenga más raíces de las encontradas con cierto tamaño de incremento, se recomienda: Obtener las tangentes en los extremos de cada incremento para identificar cambios de signo y, en su caso, analizar el subintervalo de incremento más minuciosamente. Reducir a la mitad el tamaño de los incrementos. Se ha de tener especial cuidado al hacer el bosquejo de una gráfica, cuando no se dispone de dispositivos que grafiquen de manera confiable, porque el trazado a base de incrementos, puede ser sumamente engañoso.

6 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALTrazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces

7 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALx f(x) f'(x) raíces revisar 3.00 3.50 1 4.00 4.50 5.00 Trazado con incrementos de 0.50, parece que hay solo 2 raíces Necesario revisar en 2 subintervalo de incremento más

8 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALTrazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raíces

9 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALx f(x) f'(x) raíces revisar 3.00 3.20 3.40 1 3.60 3.80 4.00 4.20 4.40 4.60 4.80 5.00 Trazado con incrementos de 0.20, parece que hay solo 2 raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

10 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALTrazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces

11 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALx f(x) f'(x) raíces revisar 3.00 4.00 3.10 4.10 3.20 4.20 3.30 1 4.30 3.40 4.40 3.50 4.50 3.60 4.60 3.70 4.70 3.80 4.80 3.90 4.90 5.00 Trazado con incrementos de 0.10, parece que hay solo 4 raíces Necesario revisar en 6 subintervalos de incremento más

12 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 Trazado con incrementos de 0.05, se ve que hay 6 raíces

13 MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTALdetalle

14 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x) x

15 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz.

16 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x) x1 x

17 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto.

18 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf’(x1) f ’(x) f ”(x) f(x) x1 x f(x1) f”(x1)

19 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial.

20 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO(x) x1 x (x1)

21 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto.

22 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO(x) x1 x

23 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOPara deducir la fórmula de recurrencia:

24 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

25 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADO(x) (x2) x1 x2 x

26 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. Obtener los valores de la función, de su primera y de su segunda derivada en ese punto. Establecer la función (x) = f(x)/f’(x) y obtener el valor de la misma en el punto inicial. Trazar una recta tangente a la función (x) por ese punto. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

27 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x) x1 x2 x

28 MÉTODO DE NEWTON RAPHSONf(X) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 triple raíz

29 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) f"(Xi) m(Xi) m'(Xi) e(%) e*(%) 1 3 -10 24 -0.3 0.28 100.00 2 7.14 E-09 E-06 0.09 7.05 4 E-13 E-06 0.00 5 x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 Recurrencia Función

30 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONALf(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%) 1 3 -10 100.00 2 0.3 0.9261 -4.312 70.00 48.52 41.72 4 33.34 22.78 5 22.73 13.73 6 15.40 8.66 7 10.39 5.60 8 6.98 3.66 9 4.68 2.41 10 6.2398E-05 3.13 1.60 11 1.8535E-05 2.09 1.06 12 5.5013E-06 1.40 0.71 13 1.6319E-06 0.93 0.47 14 4.839E-07 0.62 0.31 15 1.4345E-07 0.42 0.21 16 4.2519E-08 E-05 0.28 0.14 17 1.2601E-08 -2.048E-05 0.18 0.09 18 3.7342E-09 E-06 0.12 0.06 19 1.1065E-09 E-06 0.08 0.04 20 3.2789E-10 E-06 0.05 0.03 21 9.7155E-11 E-07 0.02 22 2.8788E-11 E-07 0.01 x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1

31 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON TRADICIONALf(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%) 1 3.4 5.5296 20.736 240.00 2 213.33 8.51 3 202.11 3.72 4 200.06 0.68 5 4.8777E-06 200.00 0.02 6 4.4444E-12 8 0.00 X4 = 3 Recurrencia Función

32 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON MODIFICADOf(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 iteración Xi f(Xi) f'(Xi) f"(Xi) m(Xi) m'(Xi) e(%) e*(%) 1 3.4 5.5296 20.736 40.32 240.00 2 184.62 19.46 3 195.92 3.82 4 199.74 1.27 5 E-05 E-05 200.00 0.09 6 E-09 8 24 E-10 0.00 x4 = 3 Recurrencia Función

33 MÉTODO DE NEWTON RAPHSONEl método de Newton Raphson tradicional, en la búsqueda de raíces múltiples, converge linealmente, en vez de hacerlo cuadráticamente, como sucede en la búsqueda de una raíz simple. El método de Newton Raphson modificado, en la búsqueda de raíces múltiples, converge cudráticamente, al igual que en la búsqueda de una raíz simple. La lentitud en la convergencia del método de Newton Raphson tradicional es un claro indicativo de la presencia de raíces múltiples. A mayor número de raíces múltiples, menor es la velocidad de convergencia del método tradicional.